Boruvka求最小生成树

写在前面

这是我学这个算法的时候看的博客：推荐博客（除了这个还看了老师发的资料）

为了复习以及加深理解，来简单写一篇学习笔记（预计半小时写完）

关于Boruvka

起因是在模拟赛遇到的T3。大意是：对于给出的完全图，\(w_{(u,v)}=a_{\max{(u,v)}}-a_{\min{(u,v)}}\)，求最小生成树。
烧烤了半场比赛依然只拿了25分……
题解：用Boruvka算法简单解决。

当然这是一个最小生成树算法，那道题也是很显然的最小生成树题。

说到生成树，最先想到的就是Kruskal；然后是Prim（然而我Prim没怎么写过）；至于Boruvka，大概是印象中只记得名字的存在。

简单来说，Boruvka像是前两者的结合体。它使用了Kruskal的贪心思想，同时也加入了Prim的向外扩展。

实现思路

最初令每个点为一个连通块，每一轮，对于所有连通块，求它连向其他连通块的最短边；如果一个连通块的最短边连向另一连通块，则把最小边加入图中。

伪代码

while 所有点未连通{
  for 连通块 i
    minw[i] = 从i连向其他连通块的最短边
  for 连通块 i
    if minw[i] 连接不同连通块{
      ans += minw[i].w;
      merge(minw[i].u, minw[i].v);
      连通块数量 -= 1;
    }
}

时间复杂度

假设求minw[i]的时间复杂度为\(T\)，那么总的时间复杂度就是\(O(T\log_{2}N)\)。

解题

一般来说，运用Boruvka解题的关键就在于优化\(T\)

例如题中给出边权特殊的完全图
朴素的\(T\)即\(N^2\)；针对边权进行优化使得\(T\)在\(N\log_{2}N\)左右

例题

经典模板-Xor-MST

顺便一提，做这道题的时候同学推荐了这个算法：01-trie合并 。也是学到了（）

0609校内模拟赛T3-最小生成树

写在后面

于是一个小时才写完。今天心态有点炸裂TT