群论

被超快的讲课速度吓晕|*´A`)ﾉ

各个博客东拼西凑来的(Ｔ^Ｔ)

---

一些定义：

群：

一类代表二元运算的代数结构。
e.g.群\(G\)定义为\((S,\cdot)\)，其中\(S\)是集合，\(\cdot\)是一个二元运算符。

代数结构：用集合与关系的语言给出的统一形式

群的阶：

群的集合的元素数

子群：

由群的集合的子集和群的二元运算符构成的群。
e.g.已知群\(G=(S,\cdot)\)，有\(T\subseteq S\)，则\(G'=(T,\cdot)\)是\(G\)的子群。

生成子群：

由元素通过“乘法”、“取逆”等运算所得到的子群。

---

置换(\(g\))：

有限集合到自身的双射（一一对应关系）。

置换群(\(G\))：

用于置换的群。（大概是说，置换群的运算即元素之间的置换关系）

稳定化子(\(Z_k\))：

使得元素\(k\)在置换下不移动（稳定）的群的集合。

轨道(\(E_k\))：

在置换群中，元素\(k\)的移动诡计轨迹构成的集合。

循环(\(h_g\))：

在一个置换\(g\)的作用下，元素移动产生的循环。

---

一些性质：

群

满足封闭性、结合律，有单位元和逆元。
abel群满足交换律。

1. 封闭性：按照群的运算进行运算得到的元素也在群里。

\[\forall x,y\in S \longrightarrow x\cdot y \in S \]

2. 结合律：就是结合律

\[\forall x,y,z\in S \longrightarrow x\cdot y\cdot z = x\cdot (y\cdot z) \]

3. 单位元(\(e\))：对于运算结果无影响的元素（同矩阵单位元）相当于乘法中的1，加法中的0。

\[x\cdot e = x \]

4. 逆元：对于式子\(x\cdot y = e\)，有\(x,y\)互为逆元。

---

轨道-稳定化子 定理：

\[|E_k|\times|Z_k|=|G| \]

Burnside 定理：

\[L = \frac{1}{|G|}\sum_{x\in G}c_x \]

设\(G\)是目标集\([1,n]\)上的置换群，\(c_x\)表示在\(x\)的置换下不动点的数量。\(G\)将\([1,n]\)划分为\(L\)个等价类。

拉格朗日 定理：

元素对应循环子群的阶 必然能够整除 群的阶。

Polya 定理：

\[L = \frac{1}{|G|}\sum_{x\in G}{m^{h_x}} \]

\(h_x\)表示在\(x\)的置换下循环节的数量，如果将\(G\)中元素用\(m\)种颜色染色，然后将目标集排列的集合划分为\(L\)个等价类。

---

参考：

https://www.cnblogs.com/nosta/p/9444576.html
https://www.cnblogs.com/rrsb/p/9016802.html
https://www.cnblogs.com/mikufun-hzoi-cpp/p/12153046.html
https://www.luogu.com.cn/blog/Soulist/solution-p4980