动态规划——Burst Ballons

题意：
给定n个气球。每次你可以打破一个，打破第i个，那么你会获得nums[left] * nums[i] * nums[right]个积分。 （nums[-1] = nums[n] = 1）求你可以获得的最大积分数。

Note:
You may imagine nums[-1] = nums[n] = 1. They are not real therefore you can not burst them.
0 ≤ n ≤ 500, 0 ≤ nums[i] ≤ 100

Example:
Input: [3,1,5,8]
Output: 167
Explanation: nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] -->   [3,8]   -->  [8]  --> []
             coins =  3*1*5      +  3*5*8    +  1*3*8      + 1*8*1   = 167

dp[i][j]为打破的气球为i~j之间。
我们可以想象：最后的剩下一个气球为i的时候，可以获得的分数为：nums[-1]*nums[i]*nums[n].
那么介于i,j之间的x，有： dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][x – 1] + nums[i – 1] * nums[x] * nums[j + 1] + dp[x + 1][j]);  这个非常的像矩阵连乘法那个题。

不过如果不熟悉矩阵链乘法或者忘了的可能不太能理解为什么有nums[i – 1] * nums[x] * nums[j + 1]，其实很简单，dp[i][x – 1]和dp[x + 1][j]代表已经要打破的气球k两侧已经打破的气球的区间，

所以此时要是在计算第k个气球时它左右两侧的气球可不一定是第k-1和第k+1个气球，因为这两个气球极有可能已经在dp[i][x – 1]和dp[x + 1][j]两个区间中被打破而应该视为不存在的，这种情况下由于

dp[i][x – 1]和dp[x + 1][j]两个区间的气球全部被打破不能考虑，易知此时离第k个气球最近的左右两侧能加入计算的气球是第j-1和第j+1个气球。

 

public int maxCoins(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int[]num = new int[len+2];
        int[][]dp = new int[len+2][len+2];
        for(int i = 0;i<=len+1;i++)
            if(i==0||i==len+1)num[i] = 1;
            else num[i] = nums[i-1];
        int j = 0,temp = 0;
        for(int k = 1;k<=len;k++) {
            for(int i = 1;i<=len-k+1;i++) {
                j = i+k-1;
                for(int x = i;x<=j;x++) {
                    temp = dp[i][x-1]+num[i-1]*num[x]*num[j+1]+dp[x+1][j];
                    dp[i][j] = dp[i][j]>temp?dp[i][j]:temp;
                }
            }
        }
        return dp[1][len];
    }