hdu 3306

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3306

矩阵连乘求解。

首先我们列一个式子 A(n)=x*A(n-1)+b*A(n-2);

则A(n)^2=x^2*A(n-1)^2+y^2*A(n-2)^2+2*x*y*A(n-1)*A(n-2);

也就是说S(n)=S(n-1)+A(n)^2=S(n-1)+x^2*A(n-1)^2+y^2*A(n-2)^2+2*x*y*A(n-1)*A(n-2);

我们从中取出不能直接求解的部分构成一个矩阵M={S(n-1),A(n-1)^2,A(n-2)^2,A(n-1)*A(n-2)}

然后由此可以看出有一个辅助矩阵D={1          0         0     0

                                                x^2      x^2     1     x

                                                y^2      y^2     0     0

                                                2*x*y   2*x*y  0     y}

第一列是S(n)与S(n-1)的转化方程

第二列是A(n)^2与A(n-1)^2的转化方程

第三列是为了将A(n-2)变为A(n-1)

第四列：

         x*A(n-1)^2+y*A(n-1)*A(n-2)=(x*A(n-1)+y*A(n-2))*A(n-1)=A(n)*A(n-1)

由此的我们可以很方便的从S(n-1)求解出S(n)，只需要一个辅助矩阵

然后为了提高效率，可以采用二进制的思想（二进制思想具体参见北大程序设计引导及在线实践的P169）

本题要对最终结果模10007，所以为了防止溢出，我们可以在乘法后立即模10007，不会改变数值（模定理具体参见白书180）

#include <stdio.h>
#include <memory.h>
#define SIZE 4
#define modle 10007

void ini_2(int x,int y,int (*matrix)[SIZE])                    //初始化辅助矩阵
{
    matrix[0][0]=matrix[1][2]=1;
    matrix[0][1]=matrix[0][2]=matrix[0][3]=0;
    matrix[2][2]=matrix[3][2]=matrix[2][3]=0;
    matrix[1][0]=matrix[1][1]=(x*x)%modle;
    matrix[2][0]=matrix[2][1]=(y*y)%modle;
    matrix[3][0]=matrix[3][1]=(((x*y)%modle)*2)%modle;
    matrix[1][3]=x;
    matrix[3][3]=y;
}                                                     

void ini_1(int x,int y,int (*matrix)[SIZE])                  //初始化主矩阵
{
    memset(matrix,0,sizeof(matrix));
    matrix[0][0]=2;
    matrix[0][1]=1;
    matrix[0][2]=1;
    matrix[0][3]=1;
}

void matrix_mutiply(int (*matrix_1)[SIZE],int (*matrix_2)[SIZE])  //矩阵乘法
{
    int matrix_cpy_1[4][4],matrix_cpy_2[4][4];
    for(int i=0;i<4;i++)
        for(int j=0;j<4;j++)
        {
            matrix_cpy_1[i][j]=matrix_1[i][j];
            matrix_cpy_2[i][j]=matrix_2[i][j];
            matrix_1[i][j]=0;
        }
    for(int i=0;i<4;i++)
        for(int j=0;j<4;j++)
            for(int k=0;k<4;k++)
                matrix_1[i][j]+=matrix_cpy_1[i][k]*matrix_cpy_2[k][j],matrix_1[i][j]%=modle;
}
int main()
{
    int matrix_1[SIZE][SIZE],matrix_2[SIZE][SIZE];
    int number,x,y;
    while(scanf("%d %d %d",&number,&x,&y)==3)
    {
        x%=modle,y%=modle;
        ini_1(x,y,matrix_1);
        ini_2(x,y,matrix_2);
        number-=1;
        while(number)                                    //运用二进制提高效率
        {
            if(number&1)
                matrix_mutiply(matrix_1,matrix_2);
            matrix_mutiply(matrix_2,matrix_2);
            number>>=1;
        }
        printf("%d\n",matrix_1[0][0]);
    }
    return 0;
}