§2. 由平行截面面积求体积

会利用平行截面面积的定积分求体积，掌握旋转体体积公式。

重点习题：例2、例3.

 

祖暅，字景烁，范阳遒县（今河北涞水）人。中国南北朝时期数学家、天文学家，祖冲之之子。同父亲祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式，并据此提出了著名的“祖暅原理”。

祖冲之父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理（或刘祖原理）。祖暅应用这个原理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利（BonaventuraCavalier）发现，比祖暅晚一千一百多年。祖暅是我国古代最伟大的数学家之一。

祖暅历任太府卿等职，生卒年代不详。受家庭的影响，尤其是父亲的影响，他从小就热爱科学，对数学具有特别浓厚的兴趣，祖冲之在462年编制《大明历》就是在祖暅三次建议的基础上完成的。《缀术》一书经学者们考证，有些条目就是祖暅所作。祖暅终生读书专心致志，因走路时思考问题所以闹出了许多笑话。祖暅原理是关于球体体积的计算方法，这是祖暅一生最有代表性的发现。

 

祖冲之（429年-500年），字文远，生于丹阳郡建康县（今江苏南京），籍贯范阳郡遒县（今河北省保定市涞水县），南北朝时期数学家、天文学家、科学家。

祖冲之祖父是朝廷负责建造的官员，因而从小受家庭影响喜欢科学知识，南朝刘宋王朝时，祖冲之做过徐州刺史刘子鸾的从事和公府参军，刘子鸾被杀后，祖冲之被调到娄县去做了县令。刘宋孝武帝时，祖冲之曾在华林学省学习，并进行了很多科学研究。南齐发生内乱时，祖冲之在给齐明帝的上书《安边论》中建议朝廷开垦荒地，发展农业，安定民生，巩固边防。齐明帝便打算派祖冲之前往各地巡查，但还未成行时，祖冲之就去世了。

祖冲之的主要贡献在数学，所撰的《缀术》一书，被收入《算经十书》，唐代将此书列入国子监教材，后因深奥而未得传。祖冲之发现的圆周率，在当时世界上最先进，这一纪录保持了千年，直到15世纪才由阿拉伯数学家卡西打破。在天文历法方面，祖冲之创制的《大明历》，最早将岁差引进历法。在机械学方面，其设计制造过水碓磨、铜制机件传动的指南车、千里船、定时器等。另在音律、文学、考据方面也有造诣，还著有小说《述异记》。

 

 

 

 

《九章算术》，算学书。作者不详。西汉早期丞相张苍、耿寿昌等增补删订，三国曹魏时期刘徽注释，唐初李淳风注，作为通行本。

 

全书分9章，246个例题。全书共有方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股等九个章节，此书于隋、唐时传入朝鲜和日本，被定为教学书籍，现已译成英、日、俄等国文字。国家图书馆藏有南宋本《九章算术》。

 

《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。原作有插图，今传本已只剩下正文了。

 

《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。可以说，《九章算术》是中国为数学发展做出的又一杰出贡献。

 

在九章算术中有许多数学问题都是世界上记载最早的。例如，关于比例算法的问题，它和后来在16世纪西欧出现的三分律的算法一样。关于双设法的问题，在阿拉伯曾称为契丹算法，13世纪以后的欧洲数学著作中也有如此称呼的，这也是中国古代数学知识向西方传播的一个证据。

 

《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响，这种影响一直持续到了清朝中叶。《九章算术》的叙述方式以归纳为主，先给出若干例题，再给出解法，不同于西方以演绎为主的叙述方式，中国后来的数学著作也都是采用叙述方式为主。历代数学家有不少人曾经注释过这本书，其中以刘徽和李淳风的注释最有名。

 

《九章算术》还流传到了日本和朝鲜，对其古代的数学发展也产生了很大的影响。作为一部世界数学名著，《九章算术》早在隋唐时期即已传入朝鲜、日本。它已被译成日、俄、德、法等多种文字版本。

 

卡瓦列利（Cavalieri，Francesco Bonaventura，1598～1647）是意大利著名的数学家，1598年生于米兰。1629年，大科学家伽利略向波伦亚大学推荐卡瓦列利为数学教授。与此同时，卡瓦列利又将自己的《几何学》手稿和一本论圆锥曲线及其在光学上的应用的小册子呈送给主选官，以证明自己能够胜任此职。果然不出所料，在众多申请求职者中，卡瓦列利获波伦亚大学首任教授之职。从此，他在波伦亚大学从事教学和研究工作，直到1647年去世，他共出版11部著作，其中包括著名的《几何学》，《一百个不同的问题》等等。

在世界数学史上，卡瓦列利主要以他的不可分量方法而闻名于世。这个方法认为，线是由无穷多个点构成的，面是由无穷多条线构成的，体则是由无穷多个面构成的。点、线、面分别就是线、面、体的不可分量。卡瓦列利通过对比较两个平面或立体图形的不可分量之间的关系来获得这两个平面或立体图形的面积或体积之间的关系，这就是著名的卡瓦列利定理：夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条直线的任意直线所截，如果所得的两条截线长度相等，那么这两个平面图形的面积相等；夹在两个平行平面之间的两个立体图形，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果所得的两个截面的面积相等，那么这两个立体图形的体积相等。这个定理在中国被称为“祖暅原理”，它的后半部分与南北朝著名数学家祖暅在计算球体积时所提出的“缘幂势既同，则积不容异”的论断是一致的。卡瓦列利运用上述原理求得了许多平面图形的面积和立体图形的体积，是现行中学立体几何教材求几何体积的基本雏形。卡瓦列利还利用不可分量方法证明了相当于我们今天见到的幂函数定积分的公式，以及吉尔丁定理：一个平面图形绕某一轴旋转所得立体图形体积等于该平面图形的重心所形成的圆的周长与平面图形面积的乘积。

卡瓦列利的不可分量法在当时虽然缺乏科学论证，但利用它却能迅速而正确地获得前人未能获得的结果。正如数学史家史密斯所说：“仅从数学角度来看，17世纪对科学影响最大的意大利数学家就是卡瓦列利。”可惜的是他英年早逝，49岁就与世长辞。