第五次作业

1.1 最小重量机器设计问题的解空间

最小重量机器设计问题中，设机器由n个部件组成，每个部件有m个可选供应商，第i个部件从第j个供应商采购的重量为w(i,j)、成本为c(i,j)，要求总采购成本不超过预算C，求总重量最小的采购方案。其解空间为所有可能的采购组合构成的集合，即每个解可表示为n元组(x₁,x₂,…,xₙ)，其中xᵢ∈{1,2,…,m}，表示第i个部件选择第xᵢ个供应商，解空间大小为mⁿ。

1.2 最小重量机器设计问题的解空间树

解空间树为n层完全m叉树。根节点为初始状态（未选择任何部件）；第1层节点对应第1个部件的m种供应商选择；第i层（1≤i≤n）节点对应第i个部件的m种供应商选择；叶子节点位于第n层，每个叶子节点对应一个完整的采购方案（n个部件均选定供应商）。树中从根节点到叶子节点的每条路径，唯一对应解空间中的一个采购组合。

1.3 解空间树遍历中每个结点的状态值

每个结点的状态值用于记录遍历至此的部分采购信息，核心包括：①已选择部件的序号k（即当前位于解空间树的第k层，已确定前k个部件的供应商）；②当前总重量sum_w（前k个部件的重量之和）；③当前总成本sum_c（前k个部件的成本之和）。这些状态值是剪枝的关键依据：若当前sum_c已超过预算C，无需继续遍历该节点的子树（成本超限，后续选择无法满足约束）；若当前sum_w加上剩余所有部件的最小可能重量，已大于当前已知的最小总重量，也可剪枝（后续选择无法得到更优解）。

对回溯算法的理解

回溯算法是一种基于深度优先搜索的暴力搜索优化策略，核心思想是“试探-回溯-剪枝”。它先逐步构建解的部分方案，若发现当前部分方案无法延伸出可行解或最优解（通过剪枝条件判断），则回溯到上一步换一种选择继续试探，避免无效搜索。其依赖问题的解空间树结构，适用于组合优化、排列选择等解空间庞大的问题。优势是能系统遍历所有可行解，保证找到最优解；局限性是未剪枝时时间复杂度高（常为指数级），剪枝策略的设计直接决定算法效率。与贪心算法相比，回溯算法不追求局部最优，而是通过全面试探与剪枝平衡解的完整性与搜索效率。