P2857 [USACO06FEB] Steady Cow Assignment G

Introduction

第一次写二分网络流，之前总感觉二分和网络流融合不了。

Sol

注意到如果当前的跨度 \(x\) 可行，那么比 \(x\) 大的跨度也可行，反之亦然，因此可以二分。

因为数据较小，所以我们可以想到网络流。

我们考虑枚举跨度的区间的位置，然后如下建模：

• 源点 \(s\) 向所以牛建边，流量为 \(1\)，代表每头牛只能在一个牛棚。
• 对于每头牛，向在跨度区间内的所有牛棚建一条边，流量可以设任意 \(\ge 1\) 的整数，代表一头牛可以在某个牛棚里，流量不限是因为源点到所有的牛的流量为 \(1\)，和后面的就没有影响。
• 所以牛棚向汇点 \(t\) 连边，流量为最多能容纳的牛数，代表至多这么多牛在这个牛棚里。

跑最大流，得到的就是最多有多少头牛可以在牛棚里，当这个数为 \(n\) 时，这个跨度是可以的。

一个跨度有任意一个区间可行，那么它就是可行的。

最后二分出来的即为答案。

时间复杂度分析：

网络流只有 \(4\) 层，所以 Dinic 肯定跑不满。

注意到将中间的边流量设为 \(1\) 时，不为 \(1\) 的流量非常少，只有 \(B \le 20\) 条边。

所以时间复杂度约为 \(O((n \sqrt{n} + nB) B \log B)\)，而且跑不满，很难卡。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long  

inline int read()
{
	int x(0);
	short f(1);
	char ch(getchar());
	while(!isdigit(ch))f=(ch=='-')?-1:1,ch=getchar();
	while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
	return x*f;
}

const int N=3005;
class eg
{
public:
	int to,w;
	int unsigned ip;
};
int n,m,s,t,a[N][N],R[N],dep[N],hig[N];
vector<eg>nbr[N];

bool bfs()
{
	queue<int>q;
	q.push(s);
	for(int i=s;i<=t;i++)
		dep[i]=-1,hig[i]=0;
	dep[s]=0;
	while(q.empty()==false)
	{
		int cur=q.front();
		q.pop();
		for(auto dat:nbr[cur])
		{
			int nxt=dat.to,w=dat.w;
			if(w>0&&dep[nxt]==-1)
			{
				dep[nxt]=dep[cur]+1;
				q.push(nxt);
			}
		}
	}
	return dep[t]>=0;
}

int dfs(int cur,int now)
{
	if(cur==t)
		return now;
	int num=0;
	for(int i=hig[cur];i<nbr[cur].size();i=hig[cur])
	{
		hig[cur]=i+1;
		int nxt=nbr[cur][i].to,w=nbr[cur][i].w,ip=nbr[cur][i].ip;
		if(w>0&&dep[nxt]==dep[cur]+1)
		{
			int h=dfs(nxt,min(now,w));
			nbr[cur][i].w-=h;
			nbr[nxt][ip].w+=h;
			now-=h;
			num+=h;
			if(now==0)
				return num;
		}
	}
	return num;
}

void add(int x,int y,int w=1)
{
	nbr[x].push_back({y,w,nbr[y].size()});
	nbr[y].push_back({x,0,nbr[x].size()-1ull});
	return ;
}

bool solve(int lt,int rt)
{
	s=0,t=n+m+1;
	for(int i=s;i<=t;i++)
		nbr[i].clear();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		add(s,i);
	for(int i=n+1;i<=n+m;i++)
		add(i,t,R[i-n]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=lt;j<=rt;j++)
			add(i,a[i][j]+n);
	int ans=0;
	while(bfs()==true)
		ans+=dfs(s,2e18);
	return ans==n;
}

bool check(int x)
{
	for(int pos=1;pos+x-1<=m;pos++)
		if(solve(pos,pos+x-1)==true)
			return true;
	return false;
}

signed main()
{
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			a[i][j]=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
		R[i]=read();
	int lt=0,rt=m;
	while(lt+1<rt)
	{
		int mid=(lt+rt)>>1;
		if(check(mid)==true)
			rt=mid;
		else
			lt=mid;
	}
	cout<<rt;
	return 0;
}