P2508 [HAOI2008] 圆上的整点

Sol

我们只考虑第一象限的满足条件的个数，最终再 \(\times 4\) 即可。

我们有 \(x^2+y^2=r^2\)，则有 \(x^2=r^2-y^2\)。

进一步的 \(x^2=(r+y)(r-y)\)。

我们取 \(r+y\) 和 \(r-y\) 的最大公约数 \(d=\gcd(r+y,r-y)\)，我们将他们分别表示为 \(ad\) 和 \(bd\)，则 \(x^2=d^2ab\)，且有 \(\gcd(a,b)=1\)，也就是说 \(a\) 和 \(b\) 没有公约数。

因为 \(a\) 和 \(b\) 没有公约数又要满足 \(x^2=(dst)^2\)，所以 \(s,t\) 不能由 \(a\) 和 \(b\) 中的两个质数合在一起而成，所以 \(a,b\) 都为平方数，即 \(a=s^2\)，\(b=t^2\)。

两边开平方 \(x=dst\)。

因为有 \(r+y=s^2d\)，\(r-y=t^2d\)。

两式相加得：\(2r=(s^2+t^2)d\)，所以我们可以枚举 \(d|2r\)，接下来再枚举 \(s\)，再算出 \(t,a,b\)。

两式相减得：\(y=\frac{1}{2}(s^2-t^2)d\)，结合 \(x=dst\) 算出 \(x,y\)，满足条件即可将答案加 \(2\)，即 \(x^2+y^2=r^2\) 和 \(y^2+x^2=r^2\) 均可。

再加上坐标轴上的一个点，最后拓展到四个象限即可。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long 

int r,ans;

void solve(int d)
{
    for(int s=1;s*s<=r/d;s++)
    {
        int a=s*s;
        int b=r/d-a;
        int t=sqrt(b);
        if(__gcd(s,t)==1&&a+b==r/d)
        {
            int X=d*s*t;
            int Y=(a-b)/2*d;
            if(X>0&&Y>0&&X*X+Y*Y==(r/2)*(r/2))
                ans+=2;
        }
    }
    return ;
}

signed main()
{
    cin>>r;
    r*=2;
    for(int d=1;d*d<=r;d++)
        if(r%d==0)
        {
            solve(d);
            if(d*d!=r)
                solve(r/d);
        }
    cout<<(ans+1)*4;
    return 0;
}