【高中数学】导数压轴题讨论总结整理（2）【更新中】

1.3.2变形提取因式分参

前面我们说过遇到分参后形式特别复杂的题目要用含参讨论，但有时这样做也许能做，又也许做不出来，当做不出来的话我们可以试试提取因式进行分参，将分参后的式子进行简化。

我们分参后的形式是类似\(a<f(x)\)的形式

因此我们需要对\(f(x)\)进行变形

首先我们要看到我们变形的目的是为了求导，避免无限求导

我们需知道什么情况下会无限求导，比如正弦余弦之类的函数肯定不用多说。

下面几个式子你可以试试求导的结果

\[\frac{lnx}{x+1}或\frac{e^x}{lnx}\cdots \]

所以我们对基本函数分为两类

\[在一起\left\{ \begin{aligned} lnx/\frac 1x/x^2/x \\ xlnx/\frac{lnx}x \\ xe^x/\frac{e^x}x \end{aligned} \right. \]

\[不在一起\left\{ \begin{aligned} lnx/x\pm1/x^2-1 \\ lnx/e^x \\ e^x/x\pm1 \end{aligned} \right. \]

据此我们可以总结出一些套路，比如

\[见到\frac{lnx}{x+1}+\cdots我们一般会提为\frac1{x+1}(lnx+\frac{x+1}{\cdots})的形式，x^2-1同理 \]

M.3

\[若不等式\frac{2lnx}{1-x^2}>m-\frac1x恒成立，求实数m的取值范围 \]

\[首先m<\frac{2lnx}{1-x^2}+\frac1x \]

假如对直接这玩意求导是不可能的，所以我们考虑提一步公因式

提啥呢？要使\(lnx\)不能和上面的那些东西在一起。

所以我们考虑提出\(1-x^2\)（当下面是\(x-1\)时同理）

\[得到m<\frac1{1-x^2}(2lnx+x-\frac1x)且x\neq1 \]

看到这个我们还是不能解，我们来试试分开来看，\(\frac1{1-x^2}\)在\(x=1\)处要变号，且这是个增函数再看剩下的。

\[设g(x)=2lnx+x-\frac1x那么g'(x)=-\frac{(x-1)^2}{x}\leq0 \]

是一个减函数且\(g(1)=0\)，那么这样我们就有数了

当\(0<x<1\)时，\(g(x)>0\)且\(\frac1{1-x^2}>0\)所以整体大于0.

当\(x>1\)时，两个函数小于0，相乘大于0。

\[且易得lim_{x\to1}g(x)\frac1{1-x^2}=0; \]

且\(x\neq1\)，所以得到\(m\ge0\)

或者我们可以来一个更加严谨的证明

\[假设存在b，使得\frac{2lnx}{1-x^2}+\frac1x>b>0 \]

\[若0<b\le1,当x>\frac1b,同时x>1时\frac{2lnx}{1-x^2}<\frac1x<b,x<\frac1b时 \]