AOE网(Activity On Edge NetWword):
在表示一个工程的带权有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种有向图的边表示活动的网，我们称之为AOE网(Activity On Edge NetWword)。
AOE网中没有入边的顶点称为始点（源点），没有出边的顶点称为终点（汇点）。
AOV & AOE
AOE网是顶点表示活动的网，只描述活动之间的制约关系；AOE网是用边表示活动的网，边上的权值表示活动持续的时间。
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 关键路径：开始——发动机完成——部件集中到位——组装完成 = 5.5 |
关键路径：
我们把路径上各个活动所持续的时间之和称为路径长度，从源点到汇点具有最大长度的路径叫关键路径，在关键路径上的活动叫关键活动。
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 //对应顶点表和边表结点
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| 1、事件的最早发生时间etv(earliest time of vertex)：即顶点Vk的最早发生时间。 这个最大路径也相当于从始点到指定顶点Vk的最大路径长度。有etv[0]=0 etv[k]=max{etv[j]+len<Vj,Vk>} 2、事件的最晚发生时间ltv(latest time of vertex)：即顶点Vk的最晚发生时间，也就是每个顶点对应的事件最晚需要开始的时间，超出此时间将会延误整个工期。 ltv[Vk]是指在不推迟整个工期的前提下，事件Vk允许的最晚发生时间。 ltv[Vn]=ve[Vn],Vn为图中最后一个顶点 ltv[Vk]=min{ltv[j]-len<Vk,j>} |
3、活动的最早开工时间ete(earliest time of edge)：即弧ak的最早发生时间。
若活动ai是由弧<Vk,Vj>表示，则活动ai的最早开始时间应等于事件Vk的最早发生时间。有：ete[i]=etv[k]。
4、活动的最晚开工时间lte(latest time of edge)：即弧ak的最晚发生时间，也就是不推迟工期的最晚开工时间。
若活动ai的最晚开始时间是指，在不推迟整个工期的前提下，ai必须开始的最晚时间。若ai由弧<Vk,Vj>表示，则ai的最晚开始时间要保证事件Vj的最迟发生时间不拖后。有：lte[i]=ltv[j]-<Vk,Vj>
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初始etv全部为0，ltv为tev[9] |
由于ete和lte中我们的数组下标都是假定我们知道图的具体形状，边和顶点的关系给标号来，在算法过程中我们没法确定边是由哪两个顶点得到的，但是我们可以得出etv和ltv，最后根据etv和ete、ltv和lte的关系在一次遍历过程中根据关键活动ete=lte来立即输出边。 |
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关键活动：ete = lte a1 → a4 → a6 → a8 → a11 → a12 <V0,V2>4 → <V2,V3>8 → <V3,V4>3 → <V4,V7>4 → <V7,V8>5 → <V8,V9>3 算法要首先确定有向图是不是AOV图，在确定的过程中要保存拓扑排序的顺序，最后初始化ltv数组要用到 |
| /* AOE.h */ #ifndef __AOE_H__
#define __AOE_H__
#include"Graph.h"
#include<iostream>
#include<stack>
namespace meihao
{
//边表结点
typedef struct EdgeNode
{
int vertexIdx; //邻接点域，存放该结点在顶点表数组中的下标
int weight; //存放对应顶点到该边表结点的边上的权值
struct EdgeNode* next; //存放下一个边表结点的位置
}edgeNode,*pEdgeNode;
//顶点表结点
typedef struct VertexNode
{
int in; //顶点入度
int data; //顶点与，存放顶点数据信息
edgeNode* firstEdge;
}vertexNode,*pVertexNode;
void initDataStruct(const meihao::Graph& g,vertexNode*& vertexArr);
//根据图来初始化出我们要的顶点数组和对应的边表
int TopologicalSort_AOV(const meihao::Graph& g,vertexNode*& vertexArr,int* elv,stack<int>& AOV); //成功返回0，失败返回-1
//在这个过程中计算出elv,并保存这个拓扑排序的逆序
//这个拓扑排序的逆序后面求关键路径要用来计算ltv
void CriticalPath_AOE(const meihao::Graph& g);
};
#endif
/* data.txt */
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 3 4 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 5 6 0 0 0 0 0
0 0 0 8 0 7 0 0 0 0
0 0 0 0 3 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 9 4 0 0
0 0 0 0 0 0 0 6 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 0 0 0 0 5 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 3
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
/* testmain.cpp */
#include"Graph.h"
#include"AOE.h"
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
meihao::Graph g("data.txt");
meihao::CriticalPath_AOE(g);
system("pause");
}
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/* AOE.cpp */ #include"AOE.h"
namespace meihao
{
void initDataStruct(const meihao::Graph& g,vertexNode*& vertexArr)
{
int vertexNum = g.getGraphVertexNumber();
vertexArr = new VertexNode[vertexNum](); //顶点数组开辟空间
for(int idx=0;idx!=vertexNum;++idx)
{
vertexArr[idx].data = idx;
vertexArr[idx].in = g.getInputDegree(idx); //获取入度
vertexArr[idx].firstEdge = nullptr;
}
for(int idx=0;idx!=vertexNum;++idx)
{
for(int iidx=0;iidx!=vertexNum;++iidx)
{
if(0!=g.getGraphEdgeWeight(idx,iidx))
{
edgeNode* tmp = new edgeNode();
tmp->vertexIdx = iidx;
tmp->weight = g.getGraphEdgeWeight(idx,iidx);
tmp->next = vertexArr[idx].firstEdge;
vertexArr[idx].firstEdge = tmp;
}
}
}
}
int TopologicalSort_AOV(const meihao::Graph& g,vertexNode*& vertexArr,int* etv,stack<int>& AOV)
{
if(!AOV.empty())
return -1; //传递来的AOV必须是空的
stack<int> zeroInputDegreeVertex;
int vertexNum = g.getGraphVertexNumber();
vertexArr = nullptr;
initDataStruct(g,vertexArr);
//入度为0的顶点入栈
for(int idx=0;idx!=vertexNum;++idx)
{
if(0==vertexArr[idx].in)
zeroInputDegreeVertex.push(idx);
}
//初始化elv,每个顶点的最早开始时间,全部为0
for(int idx=0;idx!=vertexNum;++idx)
{
etv[idx] = 0;
}
//遍历输出拓扑排序
int cnt = 0;
cout<<"拓扑排序：";
while(!zeroInputDegreeVertex.empty())
{
int idx = zeroInputDegreeVertex.top();
cout<<vertexArr[idx].data<<" "; //输出一个度为0的顶点
zeroInputDegreeVertex.pop();
AOV.push(idx); //保存结果
++cnt;
for(edgeNode* node = vertexArr[idx].firstEdge;nullptr!=node;node=node->next)
{
if( (etv[idx]+node->weight) >
etv[node->vertexIdx] )
{ //从第一个入度为0的点，也就是源点，就可以开始计算从源点出发可以到达的点的elv了
etv[node->vertexIdx] = etv[idx]+node->weight;
}
--(vertexArr[node->vertexIdx].in);
if(0==vertexArr[node->vertexIdx].in)
zeroInputDegreeVertex.push(node->vertexIdx);
//这里比较特殊，node->vertexIdx == vertexArr[node->vertexIdx].data
}
}
cout<<endl;
if(cnt==vertexNum)
return 0;
else
return -1;
}
void CriticalPath_AOE(const meihao::Graph& g)
{
int vertexNum = g.getGraphVertexNumber();
stack<int> AOV;
int* etv = new int[vertexNum]; //顶点表示的事件的最早开始时间数组
vertexNode* vertexArr = nullptr;
int ret = TopologicalSort_AOV(g,vertexArr,etv,AOV);
if(-1==ret)
{
cout<<"TopologicalSort_AOV error!"<<endl;
return ;
}
//根据得到的AOE网的拓扑排序的逆序求ltv, 顶点表示的事件的最晚开始时间数组
int* ltv = new int[vertexNum];
for(int idx=0;idx!=vertexNum;++idx)
{
ltv[idx] = etv[vertexNum-1];
}
while(!AOV.empty())
{
int vertexIdx = AOV.top();
for(edgeNode* node = vertexArr[vertexIdx].firstEdge;nullptr!=node;node=node->next)
{
if( ltv[vertexIdx] >
ltv[node->vertexIdx]-node->weight )
ltv[vertexIdx] = ltv[node->vertexIdx]-node->weight;
}
AOV.pop();
}
/* test etv 和 ltv */
cout<<"etv"<<" ";
for(int idx=0;idx!=vertexNum;++idx)
{
cout<<etv[idx]<<" ";
}
cout<<endl;
cout<<"ltv"<<" ";
for(int idx=0;idx!=vertexNum;++idx)
{
cout<<ltv[idx]<<" ";
}
cout<<endl;
//现在已经得到了etv和ltv了，可以遍历图中所有顶点，根据etv和ltv求出对应顶点之间的活动的ete和lte
cout<<"关键路径：";
for(int idx=0;idx!=vertexNum;++idx)
{//从0号顶点开始，判断0号可以到达其他顶点之间的活动
for(edgeNode* node=vertexArr[idx].firstEdge;nullptr!=node;node=node->next)
{
//ete 活动最早开始时间，<idx,node,vertexIdx>, ete = etv[idx]
int ete = etv[idx];
//lte 活动最晚开始时间，<idx,node,vertexIdx>, lte = ltv[node->vertexIdx] - <idx,node,vertexIdx>
int lte = ltv[node->vertexIdx] - node->weight;
if(ete==lte) //相等，关键路径，关键活动
{
cout<<"<"<<idx<<","<<node->vertexIdx<<">="<<g.getGraphEdgeWeight(idx,node->vertexIdx)<<" ";
}
}
}
cout<<endl;
}
};
//最后记得释放动态开辟的内存空间
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