2016中国大学生程序设计竞赛（长春）

2016中国大学生程序设计竞赛（长春）

1002.Fraction

• 写个分数结构体。

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1005.The Fastest Runner Ms. Zhang

• 最后的图形是个菊花状的，即一个环上的每个点上长了一棵树。
• 那么方案分两种：两个叶子的根为环上两个不同点，或者为同一个点。
• 
• 记\(f(u)\)表示遍历以\(u\)为根且最后返回\(u\)的代价，\(d(u,v)\)表示环上两点的最近距离。
• 从1到2的代价为$$\sum{f_i}+2(d(u,v)-1)+(L-d(u,v))-dep(1)-dep(2)$$
• 整理下，即表示为$$C+d(u,v)-dep(1)-dep(2)$$其中\(C=\sum{f_i}+L-2\)
• 如果给环定义一个起点，则\(d(u,v)=d(v)-d(u)\)，那么代价可以表示为$$C+d(v)-d(u)-dep(1)-dep(2)$$可以看出这是一个可以用单调队列维护的东西。
• 如果两个叶子在同一个环上呢？显然我们想让这两个点之间的距离越大越好，那么就是求一下树的直径就好了（写的时候忘记可能跨过环上的点了。。。疯狂WA）。

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1006.Harmonic Value Description

• 注意$$2k\le n$$
• 最小值的一个序列$$1,2,...,n$$此时\(\sum{\gcd(p_i, p_{i+1})}=n-1\)。
• 每次把相邻偶数放一起，则gcd增加1。
• 考虑到只有\(\lfloor\frac{n}{2}\rfloor\)个偶数，将\(k\)个连续偶数放一起即可。

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1007.Instability

• 1、2个点是稳定的；6个点以上是不稳定的，直接组合数求下即可。
• \(\binom{50}{5}\)约为\(2\times 10^6\)，\(\binom{5}{2}\)用状压连通点即可判断。

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1008.Sequence I

• Hash或kmp

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1009.Sequence II

• 主席树维护有效位置

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1010.Ugly Problem

• 每次构造前缀相同的回文串
• 若比\(s\)大，则选择离中心最近的非零位置减1。
• 这样两次即可达到长度减半，所以\(n\)不会超过50。

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1011.Binary Indexed Tree

• 考虑某个位置\(p\)的贡献：当一个区间端点含\(p\)而另一个不含的时候，\(p\)会贡献一次，如果统计出含\(p\)的个数\(cnt\)，则总贡献为$$(n+1-cnt)\cdot cnt$$
  需要考虑和0配对。
• 考虑一个位置\(x\)，会访问到\(x, x\oplus lowbit(x)，\cdots\)这些位置。
• 这些位置在二进制表示下为\(x\)的一个前缀且末位为1。
• 容易想到数位dp，\(f(i,last,limit)\)表示到第\(i\)位末位为\(last\)是否达到上界\(limit\)的方案数。
• 需要注意的是，记忆化时需要记录\(ans\)的增量，否则会少记录一些方案。