C语言————二分法

在 C++ 中，二分法（Binary Search）是一种用于在有序数组中查找特定元素的高效算法。

基本原理：

二分法的核心思想是利用数组的有序性，每次将搜索区间缩小一半。它通过比较目标值与区间中间元素的值来决定下一步的搜索方向，直到找到目标值或者确定目标值不存在于数组中。

例如【1,2,3】我们查找3，mid（一半的位置，也可以叫中间位置）是2,并且2<3，如果3存在于数组中，那一定在2的右边（此过程中我们将数组均匀的一分为二,并找出目标值可能存在的那一半，然后舍弃另一半），这是让区间缩小，左边界改为mid+1（或者mid）重新查找并找到了3.

在中学数学中，曾使用二分法寻找0点，也是使用分割区间的方法来寻找0点可能存在的子区间。

算法步骤：

初始化：设置两个指针，left 和 right，分别指向数组的起始位置和结束位置。
计算中间位置：在每次循环中，计算中间位置 mid，通常使用公式 mid = left + (right - left) / 2。（本质上还是（l+r）/2，先多减再回加可以避免l+r过大的情况）这样可以避免 left 和 right 相加时可能出现的溢出问题。
比较中间元素与目标值

如果中间元素 arr[mid] 等于目标值 target，则表示找到了目标，返回 mid。
如果 arr[mid] 大于 target，说明目标值在左半部分，更新 right = mid - 1，继续在左半区间搜索。
如果 arr[mid] 小于 target，说明目标值在右半部分，更新 left = mid + 1，继续在右半区间搜索。

4.循环执行：重复步骤 2 和 3，直到 left 大于 right，此时表示目标值不在数组中，返回 -1 或其他表示未找到的标识。

代码实现:

迭代实现：

int binarySearch(int arr[], int left, int right, int target) {
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (arr[mid] == target) {
            return mid;  // 找到目标元素，返回其索引
        } else if (arr[mid] < target) {
            left = mid + 1;  // 目标元素在右半部分
        } else {
            right = mid - 1;  // 目标元素在左半部分
        }
    }
    return -1;  // 未找到目标元素
}

递归实现:

int binarySearchRecursive(int arr[], int left, int right, int target) {
    if (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (arr[mid] == target) {
            return mid;  // 找到目标元素，返回其索引
        } else if (arr[mid] < target) {
            return binarySearchRecursive(arr, mid + 1, right, target);  // 目标元素在右半部分
        } else {
            return binarySearchRecursive(arr, left, mid - 1, target);  // 目标元素在左半部分
        }
    }
    return -1;  // 未找到目标元素
}

总代码举例：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
int binarySearch(vector<int>& arr, int target) {
    int left = 0;
    int right = arr.size() - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (arr[mid] == target) {return mid;}
        else if (arr[mid] > target) {right = mid - 1;}
        else {left = mid + 1;}
    }
    return -1;
}
int main() {
    vector<int> arr = {1, 3, 5, 29, 7, 9, 11, 13, 15};
    sort(arr.begin(), arr.end());//从小到大排序
    int target = 7;
    int result = binarySearch(arr, target);
    cout << result << endl;
    return 0;
}

算法分析:

复杂度分析

复杂度：

时间复杂度：二分法每次迭代都将搜索区间减半，因此时间复杂度为 O(log n)，其中 n是数组的元素数量。这使得二分法在处理大规模有序数据时非常高效。
空间复杂度：在基本的二分法实现中，只需要几个额外的变量来跟踪搜索区间，因此空间复杂度为 O(1)。

O(log n)的由来:这个查找过程会一直持续，也就会一直除以2，直到我们找到目标元素或者确定目标元素不存在于数组中。当查找范围缩小到只剩下 1 个元素时，就不能再继续二分了，此时可以认为查找结束。即当 $\frac{n}{2^{k}}=1$ 时，查找过程停止。 n= $2^{k}$ ,k= $log_{2}n$ 所以二分法的时间复杂度就表示为O(log n)。