二叉树糕手

二叉树性质

节点数与高度的关系：高度为 h 的二叉树，最少有 h 个节点（每层仅 1 个节点，斜树），最多有 2^h - 1 个节点（满二叉树，每层节点数全满）。

度的特性：节点的「度」是指其子节点个数（0 = 叶节点，1 = 单子女节点，2 = 双子女节点）；任意二叉树中，「度为 0 的节点数（叶节点）= 度为 2 的节点数 + 1」。

$n = n_{0} + n_{1} + n_{2}$ ，很好理解，只可能有度为1,2,3的节点，加一块就是总结点。
$n = n_{1} + 2n_{2} + 1$ ，除了根节点都是子节点，从上向下按孩子算，这个1是根节点。总结点数= 度数 + 1.

联立可得 $n_{0} = n_{2} + 1$ ，叶节点 = 2度 + 1

递归特性：二叉树的左、右子树仍是二叉树，因此多数操作（遍历、查找）可通过递归实现。

二叉树很像二进制数，二叉树第一层有节点数1 = $2^{0}$ ，第二层是2 = $2^{1}$ ，第三层4 = $2^{2}$ ，以此类推，第 i 层有 $2^{i-1}$ 个节点，一共有h层满二叉树（层数（深度）从1开始）形成这么一个等比数列， $\frac{a_{1} * (1 -q^{h})}{1 - q}=2^{h} - 1$ ，树的二进制每位都是1,111b + 1 = 1000b。

有n个节点的满二叉树，深度h = 层度 = $log_{2}(n + 1)$ .

对于完全二叉树（最后一次不满但是左对齐），h = 层数 = $log_{2}(n + 1)$ 向上取整

完全二叉树可以由节点数n反向推出 $n_{0}n_{1} n_{2}$ ，因为 $n_{0} = n_{2} + 1$ ， $n = n_{1} + 2n_{2} + 1$ ，所以 $n_{0} + n_{2} = 2n_{2} + 1$ 一定是奇数，而对于完全二叉树，度数为1的节点至多存在一个，如果总节点数n是偶数，则 $n_{1}$ = 1,否则 $n_{1}$ = 0。