「一本通 1.1 练习 1」数列极差

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解题思路

这题也是典型的贪心算法题。

对于这个问题 先通过实例来认识问题所描述的计算过程。

令$ N=3 $ ,取数列 $ 3,5,7 $

可能有下面三种情况

$ (3×5+1)×7+1=113 $

$ (3×7+1)×5+1=111 $

$ (5×7+1)×3+1=109 $

由此可见先运算小数据的到的是最大值,先运算大数据得到的是最小值。

故针对此问题可采用贪心算法，下面验证其合理性：

不妨假设 $ 3 $ 个数 $ a<b<c $ 。
则有以下几种组合计算结果:

$ 1.(a×b+1)×c+1= abc + c + 1 $

$ 2.(a×c+1)×b+1= abc + b + 1 $

$ 3.(b×c+1)×a+1= abd + a + 1 $

显然，选择两个较小数能得到最大的结果，而选择两个较大的数能得到最小的结果，上述算法的正确性得证。推广至n个数，该算法的单调性也显而易见。

#include <bits/stdc++.h>
#define _for(i,a,n) for(int i=a;i<n;++i)
#define rep(i,a,n)for(int i=a;i<=n;++i)
#define input() int t;cin>>t;while(t--)
#define close() ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> P;
const int maxn = 5e4;
priority_queue<int, vector<int>, greater<int> > Q1;
priority_queue<int, vector<int>, less<int> > Q2;
int main()
{
    int n, t;
    cin >> n;
    _for(i, 0, n) {
        cin >> t;
        Q1.push(t);
        Q2.push(t);
    }
    cin >> t;
    int maxv = 0, minv = 0;
    while(Q1.size() != 1) {
        t = Q1.top();
        Q1.pop();
        t = t * Q1.top() + 1;
        Q1.pop();
        Q1.push(t);
        
        t = Q2.top();
        Q2.pop();
        t = t * Q2.top() + 1;
        Q2.pop();
        Q2.push(t);
    }
    cout << Q1.top() - Q2.top() << endl;

    return 0;
}