莫比乌斯反演
积性函数$$\forall p,q \wedge gcd(p,q)=1 , f(pq)=f(p)*f(q)$$
\(\mu\)函数定义
$$
n=a_1{p_1}*a_2\cdots*a_k^{p_k}\
\mu(n)=\left{
\begin{array}{lr}
1,n = 1\
(-1)^k,a_i=1\
0,otherwise
\end{array}
\right.
\[
---------------------------------------------
##**$\mu$函数性质**
###1.\]
\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]
\[([n=1]表示仅当n=1时返回值为1，其余为0）
###2.\]
\sum_{d|n}{\mu(d)\over{d}}={\varphi(n)\over{n}}
\[
---------------------------------------
##**线性筛莫比乌斯函数**
```cpp
void init()
{
memset(vis,0,sizeof vis);
mu[1]=1;
for (int i=2;i<=n;++i)
{
if (!vis[i])
{
mu[i]=-1;
prime[++tot]=i;
}
for (int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;++j)
{
vis[i*prime[j]]=1;
if (i%prime[j]==0)
{
mu[i*prime[j]]=0;
break;
}
else
{
mu[i*prime[j]]=-mu[i];
}
}
}
}
```
-----------------------------------------
##**莫比乌斯反演**
### 若$$F(n)=\sum_{d|n}f(d)\]
则有 $$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)*F({{n}\over{d}})$$
证明
$$\sum_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{k|\frac{n}{d}}f(k)\
=\sum_{p|n}f(p)\sum_{k|\frac{n}{p}}\mu(k)\ \ \ \ (p=dk)\\
=\sum_{p|n\wedge p\neq n}f(p)\sum_{k|\frac{n}{p}}\mu(k)+f(n)\sum_{k|1}\mu(k)\\=0+f(n)
=f(n)
\[
-------------------
###**另一种形式**
### 若$$F(n)=\sum_{n|d}f(d)\]
则有 $$f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac {d} {n})*F({d})$$
另一种形式证明
$$\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})\sum_{d|p}f(p)\
=\sum_{q=1}^{+\infty}\mu(q)\sum_{nq|p}f(p)\ \ \ \ \ (q=\frac{d}{n})\
=\sum_{n|p}f(p)\sum_{q|\frac{p}{n}}\mu(q) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
=\sum_{n|p \wedge n\neq p}f(p)\sum_{q|\frac{p}{n}}\mu(q)+f(n)\sum_{q|1}\mu(q)\
=0+f(n)=f(n)\
\[1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
###$$f(d)=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{m} [gcd(i,j)=d]\]
