lxl数据结构讲义例题泛做

搬运自洛谷博客，原发表时间：2022-12-06

网课人在家摆烂太悲伤了，于是做一些数据结构题。

本博客和ds学习笔记的区别：后者收录小清新/有趣题。

目前拥有的讲义：

感觉数据结构题评紫的巨大多，良莠不齐。

可能会有非常简单的题加入这里，勿喷。

完成度指数：0%表示一半以上核心代码照着题解完成；100%表示完全独立完成。

P8511 [Ynoi Easy Round 2021] TEST_68

tag：树上问题

题意：一棵树，对于每个节点求其子树以外的任何两节点的最大异或和。

首先考虑整棵树，求出其最大异或和 \(bst\)，及得到该数的两点 \(x,y\)。

显然非 \(x\) 或 \(y\) 的祖先的所有节点的答案即为 \(bst\)。

考虑 \(x\) 或 \(y\) 的祖先：自顶向下，每次就增加了一定的点，分别对两条路径求最大异或和。

总时间复杂度 \(O(n \log a)\)，\(a\) 为值域。

完成度：60%

P4396 [AHOI2013]作业

tag：莫队&分块

明显的莫队，使用树状数组 \(O(\log n)-O(\log n)\) 维护，时间复杂度 \(O(n \sqrt{m} \log n)\)，很笨。

注意到修改/查询的次数为 \(O(n \sqrt m)-O(m)\)，可以采用 \(O(1)-O(\sqrt n)\) 的数据结构维护。

值域分块满足上述要求。

时间复杂度 \(O(n \sqrt{m}+m \sqrt{a})\)，\(a\) 为值域。

完成度：100%

P5356 [Ynoi2017] 由乃打扑克

tag：分块

题意：区间加，区间第 \(k\) 小。

分块，块内排序。（排序后的数组最好附带一个原数组的编号）

（以下 \(L\) 表示块长）

• 区间加

整块打 \(\text{tag}\)，散块中挑出区间内的数（有序），修改后和剩下的数归并排序得到整块的有序数组。

时间复杂度为 \(O(L+\dfrac{n}{L})\)。

• 区间第 \(k\) 小

散块通过归并排序为一组，一整块单独为一组。值域中二分答案，在每组中求出大于其的个数，判断加起来后是否达到 \(k\) 即可。

时间复杂度 \(O(\Delta\dfrac{n}{L} \log L)\)，\(\Delta\) 表示二分次数。

理论上取 \(L=O(\sqrt{n} \log n)\) 较优。

卡常技巧：根据块内最值求出二分上下界，能带来较大常数优化。

写得非常丑陋的code

想+写+调了总计2.5h，吐了。

完成度：80%

P3863 序列

tag：扫描线&分块

题意：区间加，查询某个位置在过去的多少时间内不小于某个值。

离线扫描线扫序列维，数据结构维护时间维。

将区间加拆为在 \(l\) 处加上 \(v\)，在 \(r+1\) 处减去 \(v\)，拆完后的修改对 \([t,m]\) 有贡献，问询即为新序列中 \([0,t-1]\) 内 \(\ge y-a_p\) 的数量。（\(t\) 为时间戳）

于是转化为区间加区间rank，使用分块可以在 \(O(n \sqrt{n \log n})\) 内解决，可以通过。

（或者分块套值域分块，\(O(n \sqrt n)\)，作者懒得写了）

完成度：60%

P4887 【模板】莫队二次离线（第十四分块(前体)）

tag：莫队

题意：求区间内异或起来有 \(k\) 个二进制位的二元组个数。

莫二离的本质：\(O(n \sqrt{m} \Delta) \rightarrow O(n \sqrt{m}+n \Delta)\)，\(\Delta\) 为单次挪动指针的复杂度。

适用范围：\(\Delta > O(1)\)，一个数的对区间的贡献与区间中的数有关，贡献可差分。

设 \(f(x,l,r)\) 为 \(a_x\) 对区间 \([l,r]\) 的贡献，\(F(x,l)=f(x,1,l)\)。（区间转化为前缀差分）

在右指针移动到 \(x\) 时，会产生的答案变动为 \(f(x,l,x-1)=F(x,x-1)-F(x,l-1)\)；

在左指针移动到 \(x\) 时，会产生的答案变动为 \(f(x,x+1,r)=F(x,r)-F(x,x)\)。

\(F(x,x-1),F(x,x)\) 可预处理；由于莫队指针移动的连续性，可以将连续的 \(-F(x,l-1)\) 和 \(F(x,r)\) 记录在区间中，二次计算。（也就是二次离线）

而指针的移动对后续询问都有贡献，因此求前缀和后才是真正的答案。

完成度：0%

P5047 [Ynoi2019 模拟赛] Yuno loves sqrt technology II

tag：莫队&分块

题意：区间逆序对数。

莫二离，使用值域分块维护二次计算。（与上题类似，略过）

调一下块长就能过。

完成度：60%

P3245 [HNOI2016]大数

tag：莫队

题意：一个数字串，求区间中可被 \(p\) 整除的子串的个数。

明显可以转化为后缀串做差，离散化后就变成了小Z的袜子。特判一下2和5即可。

完成度：80%