良序集

 正整数集\(\mathbb{Z}_+\)有一个有用的性质：每一个非空子集有一个最小元。将它加以推广就得到良序集的概念。

 定义 具有全序关系\(<\)的一个集合\(A\)称为良序的（well-ordered），如果\(A\)的任意非空子集有一个最小元。

 有几种构造良序集的方法，下面是其中的两种：
 (1) 如果\(A\)是一个良序集，则\(A\)的任意子集在限制全序关系下是一个良序集；
 (2) 如果\(A\)和\(B\)都是良序集，则\(A\times B\)在字典序下是一个良序集。

 (1)的证明是显然的，(2)的证明见[1]。

 由此可得，\(\mathbb{Z}_+\times(\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+)\)在字典序下是良序的，它可以表示成一个无穷序列的无穷序列的无穷序列。类似地，\((\mathbb{Z}_+)^4\)在字典序下是良序的，等等。如果你试图把它推广到无穷个\(\mathbb{Z}_+\)的积，那就要遇到麻烦了。我们将要简单地讨论这种情况。

 给定一个没有全序关系的集合\(A\)，人们自然会问，在\(A\)上是否存在一个全序关系，使其成为良序集呢？如果\(A\)是有限集，那么任意一一对应

\[f:A\longrightarrow \{1,\cdots,n\} \]

就能够定义\(A\)上的一个全序关系，使\(A\)与全序集\(\{1,\cdots,n\}\)的序型相同。事实上，有限集上的任意全序关系都可以用上述方法得到。

 定理 10.1 任意非空有限全序集具有\(\mathbb{Z}_+\)的一个截\(\{1,\cdots,n\}\)的序型，因而必定是良序集。

 证明 首先证明任意有限全序集\(A\)有一个最大元。如果\(A\)只有一个元素，这是显然的。假定结论对于具有\(n-1\)个元素的集合成立，设\(A\)有\(n\)个元素并且\(a_0\in A\)。那么\(A=\{a_0\}\)有一个最大元\(a_1\)。而\(\{a_0,a_1\}\)的最大者就是\(A\)的最大元。

 其次证明，对于某一个\(n\)，存在一个\(A\)与\(\{1,\cdots,n\}\)之间的保序一一对应。如果\(A\)有一个元素，这是显然的。假定结论对于有\(n-1\)个元素的集合成立。设\(b\)为\(A\)的最大元。根据归纳假定，存在一个保序一一对应

\[f':A-\{b\}\longrightarrow \{1,\cdots,n-1\} \]

再由下式

\[\begin{gathered} f(x)=f'(x),x\ne b\\ f(b)=n \end{gathered} \]

定义一个保序一一对应\(f:A\rightarrow\{1,\cdots,n\}\)。

$\square$

 因此，一个有限全序集只有一种可能的序型。对于无限集，情形就完全不同了。良序集

\[\begin{gathered} \mathbb{Z}_+\\ \{1,\cdots,n\}\times\mathbb{Z}_+\\ \mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+\\ \mathbb{Z}_+\times(\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+) \end{gathered} \]

都是可数无限集，而它们有不同的序型。

 我们已经给出的所有良序集的例子都是可数集。人们自然会问，能不能找到一个不可数的良序集呢？

 大家熟悉的不可数集是可数无穷多个\(\mathbb{Z}_+\)的积

\[X=\mathbb{Z}_+\times\mathbb{Z}_+\times\cdots=(\mathbb{Z}_+)^{\omega} \]

可以用一种自然的方式在这个集合中引入广义的字典序：如果对于某一个\(n\geqslant 1\)，

\[\text{当}i<n\text{时},a_i=b_i;\text{并且}a_n<b_n \]

则定义

\[(a_1,a_2,\cdots)<(b_1,b_2,\cdots) \]

事实上，这是集合\(X\)上的一个全序关系。可惜它不是一个良序。考虑\(X\)中所有形如

\[\bm{x}=(1,\cdots,1,2,1,1,\cdots) \]

的元素\(\bm{x}\)的集合\(A\)，其中\(\bm{x}\)只有一个坐标等于2，其余的都是1.显然\(A\)没有最小元。

 我们已经看到，字典序至少没有给出集合\((\mathbb{Z}_+)^{\omega}\)的一个良序。那么在这个集合上是不是有别的全序关系，使它成为良序集呢？我们虽然没有一个在\((\mathbb{Z}_+)^{\omega}\)上作出特定良序的方法，但是有一个著名的定理，可确认这样的良序是存在的。

 定理[良序定理（well-ordering theorem）] 若\(A\)是一个集合，则存在\(A\)上的一个全序关系，使\(A\)成为一个良序集。

 这个定理是1904年由Zermelo证明的，曾震动了数学界，并对其证明的正确性展开大量辩论。对于任意不可数集，没有一个将其良序化的构造性程序就引起了许多怀疑。在进一步分析这个证明时，我们发现只有一处可能有点问题，就是在构造过程中包含着无穷多次选择，也就是说其做法包含了选择公理。

 一些数学家曾经拒绝把选择公理作为一个结果，多年来每涉及一个新定理就要提出这个问题：它的证明是否涉及选择公理？因为一个定理的证明中如果使用了选择公理，便会被认为基础不稳固。一般来说，时下的数学家大都已经不再有这样的烦恼了。他们把选择公理作为集合论中一个合适的假定，良序定理也就随之得以被承认。

 选择公理蕴含良序定理的证明过于冗长，而且主要是逻辑学家的兴趣所在，我们将在下一节给出其证明。本系列承认良序定理，读者也可以将其视作另外的一个公理！

 我们只是偶尔需要良序定理的全部“功效”。一般情况下，我们将仅用到下面这个较弱的结果：

 推论 存在一个不可数的良序集。

 我们将使用这个结果来构造一个很有用的良序集。

 定义 设\(X\)是一个全序集，给定\(\alpha\in X\)，用\(S_{\alpha}\)表示集合

\[S_{\alpha}=\{x|x\in X\text{并且}x<\alpha\} \]

称之为\(X\)在\(\alpha\)处的截（section）。

 引理 10.2 存在一个以\(\Omega\)为最大元的不可数良序集\(A\)，\(A\)在\(\Omega\)处的截\(S_{\Omega}\)是一个不可数集，而\(A\)的每一个其余的截都是可数集。

 证明 假定\(B\)是一个不可数的良序集，设\(C\)为\(\{1,2\}\times B\)在字典序下的不可数的良序集，则\(C\)的某一个截不可数。（事实上，\(C\)在每一个形如\(2\times b\)的元素处的截都是不可数的。）记\(\Omega\)为使得\(C\)在\(\Omega\)处的截为不可数集的最小元。取\(A\)为这个截加上\(\Omega\)所组成的集合。

$\square$

 值得注意的是，\(S_{\Omega}\)是一个不可数良序集，并且它的每一个截都是一个可数集。事实上，它的序型由此唯一确定。我们称之为极小不可数良序集。进而，我们将用记号\(\overline{S}_{\Omega}\)来表示不可数良序集\(A=S_{\Omega}\cup\Omega\)（理由后述）。

 就我们的目的而言，\(S_{\Omega}\)最有用的性质是以下定理：

 定理 10.3 如果\(A\)是\(S_{\Omega}\)的一个可数子集，则\(A\)在\(S_{\Omega}\)中有上界。

 证明 设\(A\)为\(S_{\Omega}\)的一个可数子集。对于每一个\(a\in A\)，截\(S_a\)都是可数的。因此，并\(B=\bigcup_{a\in A}S_a\)也是可数的。因为\(S_{\Omega}\)不可数，所以集合\(B\)不会等于\(S_{\Omega}\)。设\(x\)为\(S_{\Omega}\)中不属于\(B\)的点，则\(x\)为\(A\)的一个上界。因为，如果对于\(A\)中某一个\(a\)有\(x<a\)，那么\(x\)属于\(S_a\)，从而属于\(B\)，这与\(x\)的选取矛盾。

$\square$

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