大数取模 快速幂 欧拉定理 欧拉函数

求a^b%mod a<=1e12 b<=1e100000 mod=1e9+7

已知欧拉定理 a^φ(n) ≡1%n(a与n互质)

b%φ(n)=t

b=k*φ(n)+t(k=0,1,2,3...)

a^b%mod=a^(K*φ(n)+t)%mod=(a^(k*φ(n))%mod)*a^t%mod)%mod=a^t%mod

(a^φ(n) ≡1%n=1, a^(k*a^φ(n) )=1;原式=(1*a^t)%mod )

用欧拉函数求出φ(n) b对φ(n)取模即可求出t

a^b%mod=a^t%mod;

欧拉函数：

ll euler(ll n){ //返回euler(n)   
     ll res=n,a=n;  
     for(ll i=2;i*i<=a;i++){  
         if(a%i==0){  
             res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出   
             while(a%i==0) a/=i;  
         }  
     }  
     if(a>1) res=res/a*(a-1);  
     return res;  
}  

快速幂：

ll PowerMod(ll a, ll b, ll mod){
    ll ans=1;
    a%=mod;
    while(b){
        if(b&1) ans=(ans*a)%mod;
        b>>=1;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return ans;
}

大数取模：

ll MOD(char *s,ll m){
    ll len = strlen(s);
    ll ans = 0;
    for(ll i = 0; i < len; i++)
        ans = (( ans*10 + s[i] - '0') % m);
    return ans;
}