对矩阵分析的理解（对应B站上严质彬老师的矩阵论课程）

P1-4 数域、线性空间及其基本变换
1---线性空间
2---基与坐标
3---线性子空间
4---线性映射 
P5-8 向量组的线性相关性、极大线性无关组、基与坐标
5---矩阵的等价与相似
P9-12 基与坐标
P13-16 基与坐标、子空间、子空间的核与像
P17-20 线性映射

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对同构的理解
A、B两个世界同构，A世界有二元计算*，B世界有二元计算#
A世界中的x、y在B世界中的像分别为X、Y
在A世界中进行二元计算x*y，其结果可以借助B世界中的计算来寻觅
具体寻觅过程分两步：
1.在B世界里进行二元计算X#Y得到结果Z；
2.找到Z在A世界的原像z
由于这两个世界是同构的
A世界中这个z，就是在A世界中苦苦寻觅的二元计算x*y的终极答案

P26-40 λ矩阵与Jordan标准型
P26 多项式矩阵，多项式矩阵的秩，单位模阵(可逆矩阵，逆矩阵还是多项式矩阵)
P27 多项式矩阵的三种初等行变换
P29 复习多项式
1.次数；2.带余除法；3.质因式分解；4.最高公因式，最小公倍式；5.辗转相除法
P30 多项式矩阵的Smith标准型
P41 内积的定义，性质
引入内积空间的原因：在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法和数乘向量两种运算。向量的度量性质：向量长度、夹角、正交等概念在线性空间理论中没有反应，局限了线性空间理论的应用。
P42 实空间标准内积，函数空间内积定义
P43 复内积定义，性质。从而引出，复空间，酉空间。最后给出gram矩阵的定义
引入Gram矩阵是为了用坐标和矩阵来计算内积。要分清楚是谁的Gram矩阵：①两向量组的交互Gram矩阵；②向量组的Gram矩阵。在机器学习中，Gram矩阵可以用于风格迁移。
注：矩阵论中遇到的各种空间
1）实线性空间；
2）实内积空间：定义了内积的实线性空间；
3）欧几里德空间（欧式空间）：有限维的实内积空间，可以作为酉空间的特例；
4）复线性空间；
5）复内积空间：定义了内积的复线性空间；
6）酉空间：有限维的复内积空间。
P44 基向量组的Gram矩阵(度量矩阵)，G矩阵的四条性质及其证明
P45 研究复空间中的gram矩阵(度量矩阵), 给出几何意义中长度和距离和内积的联系，并给出长度和距离应该如何定义的五点要求
P61 引入奇异值分解，奇异值分解的动机，奇异值分解的几何意义

P62 将61讲的结论半证明半验证的解决出来，A^HA与AA^H有相同的非零特征值
P63 奇异值分解在控制中的应用(解耦)，奇异值的几何意义，长度的最大放大率
P64 为什么要引入范数
P66 用矩阵范数定义的极限，证明矩阵取极限等价于对矩阵中每一个元素取极限，求矩阵的极限根本不是把范数作为工具才能做的事，但引入范数可以把m×n个普通极限问题，归结为一个极限问题，证明过程中提到了把元素从矩阵中取出来的矩阵表示方法