Educational Codeforces Round 173 B.Digits 数的可除性法则

Codeforces 题解 - [Educational Codeforces Round 173 B.Digits]

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题目描述

Artem 在黑板上连续写下数字 d ，恰好是 n! 次。因此，他得到的数是 dddddd…ddd (恰好是 n! 位)。

现在他很好奇，从 1 到 9 中的哪些奇数数字可以除以黑板上写的数字。

输入格式

输入

第一行包含一个整数 \(t\) ( \(1 \le t \le 100\) ) — 测试用例的数量。接下来是 \(t\) 个测试用例。

每个测试用例由一行组成，其中包含两个整数 \(n\) 和 \(d\) ( \(2 \le n \le 10^9\) , \(1 \le d \le 9\) )。

输出格式

输出

对于每个测试用例，输出 1 到 9 中能整除该数字的所有奇数，按升序输出。

题目大意

题目给定了一个形如 dddd...d 的数字，长度为 n!，我们需要判断哪些奇数（1, 3, 5, 7, 9）能够整除这个数字。

输入

3
2 6
7 1
8 5

输出

1 3
1 3 7 9
1 3 5 7 9

解题思路

解法 1

我们可以将数字表示为 \(C = d \times 111...1\)，其中 111...1 是由 \(n!\) 个 1 组成的数字。

对于这种情况，我们可以利用 \(S(n) = 10^0 + 10^1 + 10^2 + ... + 10^{n! - 1}\) 来简化计算。这个数 \(C\) 可以表示为：

\[C = d \times \frac{10^{n!} - 1}{9} \tag{1} \]

令

\[T=\frac{10^{n!} - 1}{9} \tag{2} \]

分析C

• 1: 任何数都能被 1 整除，因此答案中始终包含 1。
  • 3: 数字的各位和能被 3 整除时，数字能被 3 整除。当 \(n! \ge 3\) 时，\(S(n) \% 3 = 0\)，所以 \(C\) 一定能被 3 整除。
  • 5: 一个数能被 5 整除，必须以 0 或 5 结尾。但由于 \(S(n)\) 的形式决定了其末尾不能是 0 或 5，因此 \(S(n)\) 绝不可能被 5 整除。
  • 7: \(S(n)\) 模 7 有周期性。当 \(n! \ge 6\) 时，
  • \(S(n)\) 一定能被 7 整除。
    S(n) = 10^0 + 10^1 + 10^2 + ''' + 10^(n! - 1)
    我们能注意到
    10\(^0\) ≡ 1 (mod 7)
    10\(^1\) ≡ 3 (mod 7)
    10\(^2\) ≡ 2 (mod 7)
    10\(^3\) ≡ 6 (mod 7)
    10\(^4\) ≡ 4 (mod 7)
    10\(^5\) ≡ 5 (mod 7)
    \(10^6 ≡ 1 (mod 7)\)
    可知周期为6
  \[10^k ≡ 10^{k\%6} \pmod{7} \tag{3} \]
  10的任何倍六次方的模7结果 都是1
  \[10^{6k} \equiv 1 \pmod{7} \tag{4} \]
  即
  \[10^{6k} - 1 \equiv 0 \pmod{7} \tag{5} \]
  当\(n! \geq 6\) 时,此时n!，一定包含6的倍数1*2*3···n!，即\(n\geq3\)时
  \[10^{n!} - 1 ≡ 0 \pmod{7} \tag{6} \]
  说明 10\(^{n!}\) - 1 是 7的倍数
  接下来考虑分母9.因为9和7互质，
  ∴\(\frac{10^{n!} - 1}{9}\) 能被7整除的条件就是 10\(^{n!}\) - 1本身就是7的倍数
  ∴当n!包含6的倍数的时即n>=3时，我们可以得出
  \(\frac{10^{n!} - 1}{9}\) ≡ 0 (mod 7)
  • 9: \(S(n)\) 的数字根是 9 时，\(S(n)\) 能被 9 整除。当 \(n! \ge 6\) 时，\(S(n)\) 必定是 9 的倍数。
  • 什么是数字根

分析d

易得 d % i = 0, i ∈ {1， 3， 5， 7， 9}可以被i整除.

通过分析，我们可以总结出以下规则：

• 1 一定能被整除。
• 3 在 \(n \ge 3\) \(\lor\) \(d = 3\) 时一定能被整除。
• 7 在 \(n \ge 3\) \(\lor\) \(d = 7\)时一定能被整除。
• 9 在 \(n \ge 6\) \(\lor\) \((n \geq 3 \land d ＝ 3)\) \(\lor\) \(d = 9\)时一定能被整除。
• 5 只能在 \(d = 5\) 时能整除。
• 很明显时间复杂度是O(1).

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代码实现

#include "bits/stdc++.h"
using namespace std;

void Solution() {
    int n, d;
    cin >> n >> d;
    set<int> Ans = {1}; // 1 一定能整除

    // 5 只能在 d = 5 时能整除
    if (d == 5) Ans.insert(5);

    // 3 当 n >= 3 时一定能整除
    if (d % 3 == 0 || n >= 3) Ans.insert(3);

    // 7 当 n >= 3 时一定能整除
    if (d % 7 == 0 || n >= 3) 
    {
        Ans.insert(7);
    }

    // 9 当 n >= 6 时一定能整除
    if (d % 9 == 0 || n >= 6 || (n >= 3 && d % 3 == 0)) 
    {
        Ans.insert(9);
    }

    // 输出结果
    for (auto& x : Ans) cout << x << ' '; 
    cout << '\n';
}

int main() {
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        Solution();
    }
    return 0;
}