09 2018 档案
摘要：若函数$f(x)=ax^2+20x+14(a>0)$对任意实数$t$,在闭区间$[t-1,t+1]$上总存在两实数$x_1,x_2$,使得$|f(x_1)-f(x_2)|\ge8$成立,则实数$a$的最小值为____
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摘要：（2014复旦大学）共有5顶帽子，三个黑的两个白的，三个人排成一排，并让这三个人每个人选择一顶戴上；每个人都看不到自己的帽子但能看到前面人的帽子；你是最前面的人，既看不到自己的帽子也看不到别人的 帽子，但是你后面的两个人都猜不到他们自己的帽子的颜色，问:你戴的帽子什么颜色.
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摘要：(拉格朗日恒等式)
$\left(\sum\limits_{i=1}^{n}a^2_i\right)\left(\sum\limits_{i=1}^{n}{b^2_i}\right)-\left(\sum\limits_{i=1}^{n}{a_ib_i}\right)^2
=\sum\limits_{1\le {i}<{j}\le n}({a_i}{b_j}-{a_j}{b_i})^2$
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摘要：设$f(x)=x^2+ax+b,g(x)=x^2+cx+d$，如果$f(g(x))=g(f(x))$没有实根,求证:$b\ne d$
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摘要：(2012北大保送)已知$f(x)$是二次函数,且$a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))$是正项等比数列;求证:$f(a)=a$
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摘要：若函数$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$有极值点$x_1,x_2$,且$f(x_1)=x_1$,则关于$x$的方程$3(f(x))^2+2af(x)+b=0$的不同实数根个数为_____
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摘要：若2018次方程$x^{2018}-4036x^{2017}+a_{2016}x^{2016}+\cdots+a_1x+a_0=0$ 有2018个正实数,
则对于所有可能的方程$\sum\limits_{i=0}^{2016}|a_i|$的最大值为_____
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摘要：设$n$为正整数,$a_1,a_2,\cdots,a_n;b_1,b_2,\cdots,b_n;A,B$都是正数,
满足$a_i\le b_i,a_i\le A,i=1,2,\cdots,n$ 且$\prod\limits_{i=1}^n{\dfrac{b_i}{a_i}}\le\dfrac{B}{A}$.
证明:$\prod\limits_{i=1}^n{\dfrac{b_i+1}{a_i+1}}\le\dfrac{B+1}{A+1}$(2018全国联赛加试题第一题)
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摘要：设$M=\{1,2,3\cdots,2010\}$,$A$是$M$的子集且满足条件:当$x\in A$时$15x\notin A$,则$A$中的元素的个数最多是______
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摘要：已知椭圆焦点为$F_1(-1,0),F_2(1,0)$,且椭圆与直线$y=x-\sqrt{3}$相切,求
(1)椭圆的方程
(2)过$F_1$作两条相互垂直的直线$l_1,l_2$与椭圆相交于$P,Q,M,N$,求四边形$PNQM$的面积的最大值和最小值.
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摘要：(2013北大夏令营)
函数$y=x^2+ax+b$与坐标轴交于三个不同的点$A,B,C$,已知$\Delta ABC$的外心$P$在$y=x$上,求$a+b$的值.
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摘要：一次会议有1990位数学家参加，每人至少有过1327位合作者，求证:可以找到4位数学家，他们中每一个都合作过.
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摘要：设$S,T$是$R$的两个非空子集，如果存在一个从$S$到$T$的函数$y=f(x)$满足:
$1)T=\{f(x)|x\in S\};$
2)对任意$x_1,x_2\in S$,当${x_1}<{x_2}$时,恒有${f(x_1)}<{f(x_2)}$,称这两个集合"保序同构".则以下集合对不是"保序同构"的是（ ）
A.$S=N^+,T=N$
B.$S=\{x|-3\le x\le 8,x\ne 5\},T=\{y|-1\le y\le 2,y\ne0\}$
C.$S=\{x|{0}<{x}<{\pi}\},T=R$
D.$S=N,T=Q$
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摘要：（2018全国联赛解答最后一题）在平面直角坐标系$xOy$中，设$AB$是抛物线$y^2=4x$的过点$F(1,0)$的弦，$\Delta{AOB}$的外接圆交抛物线于点$P$（不同于点$A,O,B$），若$PF$平分$\angle{APB}$，求$PF|$所有可能值。
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