04 2018 档案
摘要：已知$\Delta ABC$满足$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2\sqrt{3}\sin A\sin B\sin C,a=2$,求$A$
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摘要：已知函数$f(x)=|x^3+3x^2-ax-b|$,对任意$a,b\in R$存在$x\in[-3,0]$使得$f(x)\le m$成立,求$m$的范围.
求 $\displaystyle\min_{a,b\in\mathbb{R}}\max_{x\in[-3,0]}|x^3+3x^2-ax-b|$.
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摘要：已知$x\ge0,x^2+(y-2)^2=1,W=\dfrac{3x^2+2\sqrt{3}xy+5y^2}{x^2+y^2}$,求$W$的最小值_____
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摘要：$P,Q$是两个定点,M为平面内一个动点,且$\dfrac{|MP|}{|MQ|}=\lambda(\lambda>0,\lambda\ne1)$, 点M的轨迹围成的区域面积为S , 设$S=f(\lambda)$,则（ ）
A.$f(\lambda)$在$(0,1)$单调递增,在$(1,+\infty)$单调递减
B.$f(\lambda)$在$(0,1)$单调递减,在$(1,+\infty)$单调递增
C.$f(\lambda)$在$(0,1),(1,+\infty)$单调递增
D.$f(\lambda)$在$(0,1),(1,+\infty)$单调递减
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摘要：$\textbf{证明:}$对任意$a,b\in R^+$, $\dfrac{1}{\sqrt{a+2b}}+\dfrac{1}{\sqrt{a+4b}}+\dfrac{1}{\sqrt{a+6b}}<\dfrac{6}{\sqrt{a+b}+\sqrt{a+7b}}$
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摘要：已知$a,b>0$证明:$\dfrac{1}{a+2b}+\dfrac{1}{a+4b}+\dfrac{1}{a+6b}<\dfrac{3}{\sqrt{(a+b)(a+7b)}}$
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摘要：已知$x^2+y^2+z^2=1$求$3xy-3yz+z^2$的最大值______
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摘要：设二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$，方程$f(x)=x$的两根$x_1,x_2$满足$x_1,x_2\in(0,\dfrac{1}{a})$且$x_2>x_1$,
(Ⅰ)当$x\in(0, x_1)$时，求证：$ f(x)\in(x,x_1)$;
(Ⅱ)设函数$f(x)$的图象关于$x=x_0$对称,求证:$x_0<\dfrac{x_1}{2}$
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摘要：已知数列$\{a_n\}$满足:$a_1=1,a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n(n+1)}$
1)证明:对任意$n\in N^+,a_n<5$
2)证明:不存在$M\le4$,使得对任意n,$M>a_n$
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摘要：(2015浙江重点中学协作体一模) 设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动．那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共_______种．
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摘要：(2018浙江省赛12题改编)
设$a\in R$,且对任意的实数$b$均有$\max\limits_{x\in[0,1]}|x^2+ax+b|\ge\dfrac{1}{4}$求$a$ 的范围.
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摘要：（北大优特测试第9题）
已知实数 \(a_i\)（\(i=1,2,3,4,5\)）满足 \((a_1-a_2)^2+(a_2-a_3)^2+(a_3-a_4)^2+(a_4-a_5)^2=1\)，则 \(a_1-2a_2-a_3+2a_5\) 的最大值是_______
A．\(2\sqrt 2\)
B．\(2\sqrt 5\)
C．\(\sqrt 5\)
D．\(\sqrt{10}\)
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摘要：如图，在平面直角坐标系中，$P(6,8)$，四边形$ABCD$为矩形，$AB=16$，$AD=9$，点$A,B$分别在射线$OP$和$Ox$上，求$OD$的最大值_______
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摘要：(2017北大优特测试第八题)
数列 \(\{a_n\}\) 满足 \(a_1=1\)，\(a_{n+1}=a_n+\dfrac{1}{a_n}\)，若 \(a_{2017}\in (k,k+1)\)，其中 \(k\in\mathbb N^{\ast} \)，则 \( k\) 的值是______
A．\(63\)
B．\(64\)
C．\(65\)
D．\(66\)
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摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试25）
若$N$的三个子集$A,B,C$满足$|A\cap B|=|B\cap C|=|C\cap A|=1$，且$A\cap B\cap C=\varnothing$，则称$(A,B,C)$为$N$ 的“有序子集列”．现有$N=\{1,2,3,4,5,6\}$，则$N$有（ ）个有序子集列．
A.$540$
B.$1280$
C.$3240$
D.$7680$
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摘要：(2017年清华大学 THUSSAT)
把不超过实数 $x$ 最大整数记为 $[x]$，任取互质且不小于 3 的正奇数 $m,n$，令
$$I=\sum_{i=1}^{\frac{m-1}{2}}\left[\frac{ni}{m}\right]+
\sum_{j=1}^{\frac{n-1}{2}}\left[\frac{mi}{n}\right],$$
则( )
A.$I<\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}$
B.$I>\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}$
C.$I\leq\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}$
D.$I\geq\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}$
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摘要：已知数列$\{a_n\}$满足:$a_n>0,a_{n+1}+\dfrac{1}{a_n}<2,n\in N^*$.
求证:
已知数列$\{a_n\}$满足:$a_n>0,a_{n+1}+\dfrac{1}{a_n}<2,n\in N^*$.
求证:$a_n>1 (n\in N^*)$
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摘要：求证:方程$3ax^2+2bx-(a+b)=0(b\ne0)$在$(0,1)$内至少有一个实数根.
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摘要：若函数$f(x)=x^2+ax+b$有两个不等实数根$x_1,x_2$,且$x_1,x_2\in(1,3)$,且$x_1\ne x_2$那么$f(1),f(3)中$ ( )
A.只有一个小于1
B.至少一个小于1
C.都小于1
D.都大于1
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摘要：设无穷非负数列$\{a_n\}$满足$a_n+a_{n+2}\ge2 a_{n+1},\sum\limits_{i=1}^{n}{a_i}\le1$,证明:
$0\le a_n-a_{n+1}\le\dfrac{2}{n(n+1)}$
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摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试24)
已知数列$\{a_n\}$，其中$a_1=a$，$a_2=b$，$a_{n+2}=a_n-\dfrac 7{a_{n+1}}$，则_______
A.$\{a_n\}$可能递增
B.$\{a_n\}$可能递减
C.$\{a_n\}$可能为有限项
D.$\{a_n\}$可能为无限项
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摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试24)
设$x,y\in\mathbb{R}$，函数$f(x,y)=x^2+6y^2-2xy-14x-6y+72$的值域为$M$，则______
A.$1\in M$
B.$2\in M$
C.$3\in M$
D.$4\in M$
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摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试3)
集合$S=\{1,2,\cdots,25\}$，$A\subseteq S$，且$A$ 的所有子集中元素之和不同．则下列选项正确的有( )
A.$|A|_{\max}=6$
B.|$A|_{\max}=7$
C.若$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$，则$\sum\limits_{i=1}^5{\dfrac 1{a_i}}\le\dfrac 32$
D.若$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$，则$\sum\limits_{i=1}^5{\dfrac 1{a_i}}\le2$
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摘要：((清华2017.4.29标准学术能力测试1)
$a_1,a_2,\cdots,a_9$ 是数字$1$到$9$ 的一个排列，则 $a_1a_2a_3+a_4a_5a_6+a_7a_8a_9$ 的最小值为（ ）
A.$213$ B.$214$ C.$215$ D.$216$
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摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试10）
甲、乙、丙、丁四人做相互传球的游戏，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿到球的人再传给其他三人中的一人，这样的传球共进行了$4$次，则第四次球传回甲的概率是_____
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摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试7)
已知数列$\{x_n\}$，其中$x_1=a$，$x_2=b$，$x_{n+1}=x_n+x_{n-1}$（$a,b$是正整数），若$2008$为数列中的某一项，则$a+b$可能的取值有( )
A.8 B.9 C.10 D.11
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摘要：(2018浙江省赛14题)
将$2n(n\ge2)$个不同的整数分成两组$a_1,a_2,\cdots,a_n;b_1,b_2,\cdots,b_n$.
证明:$\sum|a_i-b_j|-\sum{\left(|a_j-a_i|+|b_j-b_i|\right)}\ge n$
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摘要：(2018浙江省赛13题)
设实数$x_1,x_2,\cdots,x_{2018}$满足$x_{n+1}^2\le x_nx_{n+2},(n=1,2,\cdots,2016)$和$\prod\limits_{k=1}^{2018}x_k=1$
证明:$x_{1009}x_{1010}\le1.$
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摘要：(2018浙江省赛12题)
设$a\in R$,且对任意的实数$b$均有$\max\limits_{x\in[0,1]}|x^2+ax+b|\ge1$求$a$的范围_____
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摘要：(2018浙江省赛9题)
设$x,y\in R$满足$x-6\sqrt{y}-4\sqrt{x-y}+12=0$,求$x$的范围______
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摘要：(2018,4月学考数学选择最后一题)
如图,设矩形$ABCD$所在平面与梯形$ACEF$所在平面相交于$AC$.
若$AB=1,BC=\sqrt{3},AF=EF=EC=1,$则下面二面角的平面角为定值的是( )
$A.F-AB-C$ $B.B-EF-D$ $C.A-BF-C$ $D.B-AF-D$
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摘要：平面上$2n$个点$(n>1,n\in N)$,无三点共线,任意两点连线段,将其中任意$n^2+1$条线段染红色.求证:三边都为红色的三角形至少有$\left[\dfrac{2}{3}(n+\dfrac{1}{n})\right]$ 个.
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摘要：已知$a,b>0$，则$m=\dfrac{b^2+2}{a+b}+\dfrac{a^2}{ab+1}$的最小值是______
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摘要：问题:满足下面两种限制条件下要想称出40以内的任何整数重量,最少要几个砝码:
i)如果砝码只能在天平的某一边;
ii)如果砝码可以放在天平的两边.
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摘要：(清华大学THUSSAT)
已知 $a=\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)^{-10}+\left( \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)^{-10},\ b=\left( \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right)^{10}+\left( \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \right)^{10}$,则点 $P(a,b)$ 的坐标为_____
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摘要：(中国第59届国际数学奥林匹克国家集训队2018.3.20日测试题)
证明:存在常数$C>0$使得对于任意的正整数$m$,以及任意$m$个正整数$a_1,a_2,\cdots,a_m$,都有
$H(a_1)+H(a_2)+\cdots+H(a_m)\le C\left(\sum\limits_{k=1}^m{ka_k}\right)^{\frac{1}{2}}$
其中$H(n)=\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{k}}$
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摘要：已知正整数$a_1,a_2,\cdots ,a_{2016}$成等比数列，公比$q\in (1,2)$，则$a_{2016}$ 取最小值时，$q=$______
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摘要：数列$\{a_n\}$共11项,$a_1=0,a_{11}=4$,且$|a_{k+1}-a_{k}|=2,k=1,2,\cdots,10$
求满足条件的不同的数列的个数______
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摘要：已知函数$f(x)=-x^3-3x^2+(1+a)x+b(a<0,b\in R)$,
若$|f(x)|$在$[-2,0]$上的最大值为$M(a,b)$,求$M(a,b)$的最小值
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摘要：已知$a,b>0$且$ab(a+b)=4$,求$2a+b$的最小值.
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摘要：(2018,4月学考数学填空最后一题)
$f(x)=2x^2-(x-a)|x-a|-2\ge0$对任意$x\in R$恒成立,求$a$的范围______
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摘要：设数列$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$满足$S_{n+1}=a_2S_n+a_1,$其中$a_2\ne 0$且$a_2>-1$
求证:$S_n\le \dfrac{n}{2}(1+a_n)$ (重庆2012压轴题)
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摘要：已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}\cdot a_n=\dfrac 1n$($n\in\mathbb N^*$)．
(1) 求证：$\dfrac{a_{n+2}}{n}=\dfrac{a_n}{n+1}$；
(2) 求证：$2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\leqslant \dfrac{1}{2a_3}+\dfrac{1}{3a_4}+\cdots+\dfrac{1}{(n+1)a_{n+2}}\leqslant n$．
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摘要：(清华THUSSAT，多选题)
平面上 4 个不同点 $P_1,P_2,P_3,P_4$，在每两个点之间连接线段得到 6 条线段. 记
$$L=\max{|P_iP_j|},\ l=\min{|P_iP_j|},$$
对任意三点不共线的所有四点组 $P_1,P_2,P_3,P_4$，把 $\dfrac{L}{l}$ 的取值集合记为 $P$，则
A.$0.5 \in P$
B.$1 \in P$
C.$\sqrt{2} \in P$
D.$2 \in P$
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摘要：已知数列$\{x_n\}$满足$$x_{n+1}=\left(\dfrac 2{n^2}+\dfrac 3n+1\right)x_n+n+1,n\in\mathbf N^*,$$且$x_1=3$，求数列$\{x_n\}$的通项公式．
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摘要：已知数列$\{a_n\}$满足$2a_{n+1}=1-a_n^2,a_1\in(0,1)$．求证：当$n\geqslant 3$ 时，$\left|\dfrac{1}{a_n}-\left(\sqrt 2+1\right)\right|<\dfrac{12}{2^n}$．
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摘要：在平面上有$n$ 个点$S=\{x_1,x_2\cdots,x_n\}, $ 其中任意两个点之间的距离至少为 $1$，
证明在这 $n$ 个点中距离为 $1$的点对数不超过 $3n$.
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摘要：在平面上有$n$ 个点$S=\{x_1,x_2\cdots,x_n\}, $ 证明在这 $n$ 个点中距离为 $1$ 的点对数不超过 $\dfrac{n}{4}+\dfrac{2}{2}n^{\frac{3}{2}}$.
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摘要：$AB$是椭圆$mx^2+ny^2=1(m>0,n>0,m\ne n)$的斜率为 1 的弦.$AB$的垂直平分线与椭圆交于两点$CD$
(1)求证:$|CD|^2-|AB|^2=4|EF|^2$ 其中$E,F$为$AB,CD$ 的中点.
(2)证明:$A,B,C,D$ 四点共圆.
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摘要：已知 $a$ 为常数,函数$f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{a-x^2}-\sqrt{1-x^2}}$ 的最小值为$-\dfrac{2}{3}$,则 $a$ 的取值范围______
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摘要：已知 $r_1=0,r_{100}=0.85,(r_k$ 表示投 k 次投中的概率.)
求证:(1)是否存在$n_0$使得$r_{n_0}=0.5$
(2)是否存在$n_1$使得$r_{n_1}=0.8$
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摘要：求证：$1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots +\dfrac{1}{n^2}+\cdots = \dfrac{\pi^2}6$．
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浙公网安备 33010602011771号