09 2017 档案
摘要：答案:D.比如C 中令$x^2+1=2,x=-1,1,$ 得$f(2)=0,2$与定义矛盾，A,B同理排除. D中注意到$x^2-2x$与$|x-1|$对称轴都是$x=1$。 评:函数的定义，首先是两个非空数集$A,B$之间的关系 $f$. 这个关系 $f$ 要求满足以下条件: $\forall x
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摘要：解答：答案1，3，4.这里关于高斯函数$[x]$的一个不等式是需要知道的$x-1<[x]\le x$,具体的：
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摘要：解答：设$f(g(x_0))=x_0$,则$g(f(g(x_0)))=g(x_0)$,令$y_0=g(x_0)$则$g(f(y_0))=y_0$有解。易得答案为$B$.
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摘要：评：由关系式求表达式最经典的莫过于已知$f(x+y)=f(x)f(y)$利用柯西法求得 $f(x)=[f(1)]^x$
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摘要：证明:评： 可以思考$\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+a)^2}$与$\frac{2}{(1+\sqrt{ab})^2}$大小。
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摘要：已知${a_n}$满足$a_1=1,a_{n+1}=(1+\frac{1}{n^2+n})a_n.$证明:当$n\in N^+$时， $(1)a_{n+1}>a_n.(2)\frac{2n}{n+1}\le a_n\le \frac{en}{n+1}$评:当然也可以按参考答案由数学归纳法证明.
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摘要：此讲是纯粹竞赛,联赛二试题难度.仅供学有余力的学生看看.
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摘要：评:如果说零点存在定理是“只在此山中，云深不知处”的意境。那么斯图姆定理就能处理多项式的零点个数以及定位.
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摘要：求$\sqrt{x-5}+\sqrt{24-3x}$的最值.通常考试时会考你求最大值,常见的方式有三角代换，这里给如下做法:证明:$\sqrt{x-5}+\sqrt{24-3x}=\sqrt{x-5}+\sqrt{3}\sqrt{8-x}\le\sqrt{(1+3)(x-5+8-x)}=\sqrt{12}$ 这边用了柯西不等式. $\sqrt{x-5}+\sqrt{24...
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摘要：已知$f(x)=ax^2+bx+c$在$x\in\{-1,0,1\}$时满足$|f(x)|\le1$ 求证:当$|x|\le1$时$|f(x)|\le\frac{5}{4}$. 证明： $$f(x)=\frac{1}{2}f(-1)(x^2-x)-f(0)(x^2-1)+\frac{1}{2}f(1
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摘要：设函数$f(x)=2x-cosx,{a_n}$是公差为$\frac{\pi}{8}$的等差数列,$f(a_1)+f(a_2)+f(a_3)+f(a_4)+f(a_5)=5\pi$，则 $[f(a_3)]^2-a_2a_3=$_____ (2...
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摘要：已知$f(x)=3ax^2+2bx+b-a$($a,b$不同时为零).求证：$f(x)$在$(-1,0)$内至少有一个零点.证明:$f(-\frac{1}{3})f(-1)=-\frac{1}{3}(2a-b)^2<0$，故由零点存在定理: 存在$c\in(-1,-\frac{1}{3})$使得$f(c)=0$评：想想$-\frac{1}{3}$是怎么取的?提示: 看$a,b$前系数...
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摘要：已知$x_1,x_2,x_3\ge0,x_1+x_2+x_3=1$求$$(x_1+3x_2+5x_3)(x_1+\frac{1}{3}x_2+\frac{1}{5}x_3)(x_1+x_3+3x_2)$$的最大值。解答：$$(x_1+3x_2+5x_3)(x_1+\frac{1}{3}x_2+\frac{1}{5}x_3)(x_1+x_3+3x_2)$$$$=\frac{1}{6}(x_1+3x_...
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摘要：证明$f(x)=sinx^2$不是周期函数. 反证:假设是周期函数，周期为$T,T>0$. $$f(0)=f(T)\Rightarrow sinT^2=0\Rightarrow T^2=k_1\pi,k_1\in N^{*}$$ $$f(\sqrt{2}T)=f(\sqrt{2}T+T)\Right
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摘要：求$sinx(\sqrt{cos^2x+24}-cosx)$的范围.解答:[-5,5] $$\because (sinx \sqrt{cos^2x+24}-cosxsinx)^2$$$$\le (sin^2x+cos^2x)(cos^2x+24+sin^2x)=25$$
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摘要：评：此类题目在高考中作为压轴题也曾考过，一般通性通法都如上面的做法，但是我们如果可以站在包络的角度，很多问题将变得很清晰：
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摘要：此讲部分内容属于课外阅读拓展，学有余力的可以看看。【We need to know, and we will know.】----大卫·希尔伯特（1862-1943）$y=sin\frac{1}{x}$的图像和$y=sinx$一样有着无数次的振荡，只是前者在有限区间振荡，且凝聚于0；后者在无限区间振荡。如下图：/$y=xsin\frac{1}{x}$也是靠近0时振荡无数次，如下图：
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摘要：【Read a good book, that is conversation with many a noble man.】---勒内·笛卡尔（1596-1650）解答：评：也可以把f(f(x))的表达式写出来再作图。相比之下比较花时间.
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摘要：解答：如图 评:1.反演圆及其性质介绍： 评2:此题的源头是1995年全国卷压轴题，这里用极线极点的相关性质也可以处理： 注：用相关点法很容易得到轨迹.
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摘要：注:康拓诺维奇不等式的应用
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摘要：【Among the natural enemy of mathematics, the most important thing is that how do we konw something, rather than to know something.】---毕达哥拉斯（前572-前497)解答:
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摘要：【Rather less, but better.】----卡尔·弗里德里希·高斯（1777-1855）（2016诸暨质检18）已知$f(x)=x^2-a|x-1|+b(a>0,b>-1)$.（Ⅰ）若b=0，a>2，求f(x)在区间[0.2]内的最小值m(a);（Ⅱ）若f(x)在区间[0.2]内不同的零点恰有两个，且落在区间$[0,1),(1,2]$内各一个， 求a-b的取值...
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摘要：【从最简单的做起】——波利亚请看下面三道循序渐进不断加细的题。评:随着右边的不断加细，解决问题的方法也越来越“高端”.当然最佳值$ln2$我们可以用相对 容易的方法来证明:$\because ln(2k+1)-ln(2k-1)>\frac{1}{k}$两边$k$从$n+1$取到$2n$得$$ln2>\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{n+k}}$$
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摘要：【从最简单的做起.】——波利亚评：线面角转化成线与线的角，这道题还有类似的这类题是学生的难点。
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摘要：【Genius is one percent inspiration and ninety-nine percent perspiration】 爱迪生 【Without the one percent of inspiration, all the perspiration in the worl
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摘要：【历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细，哲学使人深邃，道德使人严肃，逻辑与修辞使人善辩。 Bacon,Francis】 练习： 评：这道2011高考题的解析做法参考答案也值得一看，但我这边在2012年给了一个原创的解答，当然现在的解答在此基础上利用韦达定理可以做的更简单和漂亮些，但是这里我还是愿
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摘要：已知$f(x)=(1-x^2)(x^2+ax+b)$的图像关于x=3对称，求$f(x)$的最大值。解答：显然$-1,7;1,5$是$f(x)=0$的根.故$(x^2+ax+b)=(x-5)(x-7)$,$\therefore f(x)=(1-x)(1+x)(x-5)(x-7）$ $=(1-x) (x-5)(x-7) (1+x)=(-x^2+6x-5)(x^2-6x-7)$令...
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摘要：] 评:此题有分析的味道在里面，用到了n次多项式的韦达定理,用到了零点存在定理以及代数基本定理:n次多项式在复数域上有n个根.
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