随笔分类 - 高中数学联赛二试
联赛二试及以上难度
摘要：已知$\Delta{ABC},AB=c,BC=a,CA=b,P$为平面内任意一点.证明:
$(PA+PB+PC)^2\ge\sqrt{3}(a\cdot PA+b\cdot PB+c\cdot PC)$
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摘要：已知$a^2+b^2+c^2=1$求$abc(a+b+c)$的最小值.(2018辽宁预赛解答压轴题)
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摘要：设数列$\{a_n\}$满足:$|a_{n+1}-2a_n|=2,|a_n|\le2,n\in N^+$
证明:如果$a_1$为有理数,则从某项后$\{a_n\}$为周期数列.
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摘要：2017北大优秀中学生夏令营
已知$\omega $是整系数方程$x^2+ax+b=0$的一个无理数根,
求证:存在常数$C$,使得对任意互质的正整数$p,q$都有$$|\omega-\dfrac{p}{q}|\ge \dfrac{C}{q^2}$$
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摘要：已知$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_6^2=6,x_1+x_2+\cdots+x_6=0,$证明:$x_1x_2\cdots x_6\le\dfrac{1}{2}$
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摘要：设$n$为正整数,$a_1,a_2,\cdots,a_n;b_1,b_2,\cdots,b_n;A,B$都是正数,
满足$a_i\le b_i,a_i\le A,i=1,2,\cdots,n$ 且$\prod\limits_{i=1}^n{\dfrac{b_i}{a_i}}\le\dfrac{B}{A}$.
证明:$\prod\limits_{i=1}^n{\dfrac{b_i+1}{a_i+1}}\le\dfrac{B+1}{A+1}$(2018全国联赛加试题第一题)
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摘要：(2018武汉大学自招)设$x,y,z\ge0,xy+yz+zx=1$证明:$\dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y+z}+\dfrac{1}{z+x}\ge \dfrac{5}{2}$
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摘要：(2007浙江省赛B卷最后一题)设$\sum\limits_{i=1}^{n}{x_i}=1,x_i>0,$求证:$n\sum\limits_{i=1}^n{x_i^2}-\sum\limits_{j>i}{\dfrac{(x_i-x_j)^2}{x_i+x_j}}\le1$
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摘要：(2017年清华大学 THUSSAT)
把不超过实数 $x$ 最大整数记为 $[x]$，任取互质且不小于 3 的正奇数 $m,n$，令
$$I=\sum_{i=1}^{\frac{m-1}{2}}\left[\frac{ni}{m}\right]+
\sum_{j=1}^{\frac{n-1}{2}}\left[\frac{mi}{n}\right],$$
则( )
A.$I<\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}$
B.$I>\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}$
C.$I\leq\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}$
D.$I\geq\dfrac{m-1}{2}\cdot\dfrac{n-1}{2}$
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摘要：(清华2017.4.29标准学术能力测试3)
集合$S=\{1,2,\cdots,25\}$，$A\subseteq S$，且$A$ 的所有子集中元素之和不同．则下列选项正确的有( )
A.$|A|_{\max}=6$
B.|$A|_{\max}=7$
C.若$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$，则$\sum\limits_{i=1}^5{\dfrac 1{a_i}}\le\dfrac 32$
D.若$A=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$，则$\sum\limits_{i=1}^5{\dfrac 1{a_i}}\le2$
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摘要：(2018浙江省赛14题)
将$2n(n\ge2)$个不同的整数分成两组$a_1,a_2,\cdots,a_n;b_1,b_2,\cdots,b_n$.
证明:$\sum|a_i-b_j|-\sum{\left(|a_j-a_i|+|b_j-b_i|\right)}\ge n$
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摘要：平面上$2n$个点$(n>1,n\in N)$,无三点共线,任意两点连线段,将其中任意$n^2+1$条线段染红色.求证:三边都为红色的三角形至少有$\left[\dfrac{2}{3}(n+\dfrac{1}{n})\right]$ 个.
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摘要：问题:满足下面两种限制条件下要想称出40以内的任何整数重量,最少要几个砝码:
i)如果砝码只能在天平的某一边;
ii)如果砝码可以放在天平的两边.
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摘要：(中国第59届国际数学奥林匹克国家集训队2018.3.20日测试题)
证明:存在常数$C>0$使得对于任意的正整数$m$,以及任意$m$个正整数$a_1,a_2,\cdots,a_m$,都有
$H(a_1)+H(a_2)+\cdots+H(a_m)\le C\left(\sum\limits_{k=1}^m{ka_k}\right)^{\frac{1}{2}}$
其中$H(n)=\sum\limits_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{k}}$
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摘要：在平面上有$n$ 个点$S=\{x_1,x_2\cdots,x_n\}, $ 其中任意两个点之间的距离至少为 $1$，
证明在这 $n$ 个点中距离为 $1$的点对数不超过 $3n$.
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摘要：在平面上有$n$ 个点$S=\{x_1,x_2\cdots,x_n\}, $ 证明在这 $n$ 个点中距离为 $1$ 的点对数不超过 $\dfrac{n}{4}+\dfrac{2}{2}n^{\frac{3}{2}}$.
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摘要：注意：此讲适合联赛一试学生，以及参加清华北大等名校的自主招生的学生. 经典计数之分配问题:把n个球放进k个盒子。考虑分配方法有三类:1.无限制 2.每个盒子至多一个（f 单的）3.每个盒子至少一个（f 满的）.球和盒子都只考虑两种极端情况：全同或全不同。这样一共会有3*2*2=12种分配情况,如下:证明：1.略 2.此时只考虑$k\ge n$这种有意义情况，由分步计数原理...
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摘要：此讲适合参加全国联赛二试的同学介绍图论和我们学习的一般的知识点比如函数一样，首先要介绍一些定义，只是图论里的定义相对较多，这里给出部分在竞赛中常用到的：就像学函数的时候，学了定义和相关概念后我们要学一些性质，比如单调性等等。这里也给出几个图论的竞赛中常见的相关定理:从这个定理马上可以得出：注解[1]：平面图必须满足上面边和顶点的关系，在顶点给定时边的数目不能太多。但不是说满足上面式子的就一定是平面...
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摘要：此讲是纯粹竞赛,联赛二试题难度.仅供学有余力的学生看看.
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摘要：让我通过这道题来演示如何利用切比雪夫多项式的内功心法：评:如此大道至简，当年为之叫绝的精彩的做法
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