［多变量问题］: 消元构造函数

(2016石家庄质检一)已知函数$f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-3x+2\ln x$.

         (1). 求$f(x)$的单调区间；

         (2). 若$f(x)=m$有三个实根$x_1$,$x_2$,$x_3$且$x_1<x_2<x_3$,求证:$x_3-x_1<2$.

 解 ：(1).$f'(x)=\dfrac{(x-1)(x-2)}{x}(x>0)$，所以：

             当$x\in (0,1)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；

             当$x\in (1,2)$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；

             当$x\in (2,+\infty)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；

            所以,$f(x)$增区间为:$(0,1)$,$(2,+\infty)$;减区间为:$(1,2)$.

        (2).由(1)知$0<x_1<1<x_2<2<x_3$，所以$x_1+2>2,x_3>2$,

              又$f(x)$在$(2,+\infty)$单调递增，所以

                 $x_3-x_1<2  \Longleftrightarrow   x_3<x_1+2$

                                       $ \Longleftrightarrow   f(x_3)<f(x_1+2)$

                                       $\Longleftrightarrow    f(x_1)<f(x_1+2)     (\because f(x_1)=f(x_3) )$

                                       $\Longleftrightarrow   \ln(1+\dfrac {2}{x_1})+x_1-2>0(0<x_1<1)$

                                       $\Longleftrightarrow  \ln(1+t)+\dfrac{2}{t}-2>0(t>2)   $   (令$t=\dfrac{2}{x_1}$)

           令$g(t）=\ln(1+t)+\dfrac{2}{t}-2(t>2)$, 由$g'(t)=\dfrac{t^2-2t-2}{(t+1)t^2}=0$得$t=\sqrt{3}+1$,所以

               当$t\in(2,\sqrt{3}+1)$时，$g'(t)<0$，$g(t)$为减函数，

               当$t\in(\sqrt{3}+1,+\infty)$时，$g'(t)>0$，$g(t)$为增函数.

               所以 $g(t)_{\min}=g(\sqrt{3}+1)=\ln(2+\sqrt{3})+\sqrt{3}-3>0.$

           所以 $x_3-x_1<2.$