一类区间查询对应答案具有单调性--维护前缀对应端点最大值

https://www.luogu.com.cn/problem/P8773

[蓝桥杯 2022 省 A] 选数异或

题目描述

给定一个长度为 \(n\) 的数列 \(A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}\) 和一个非负整数 \(x\), 给定 \(m\) 次查询, 每次询问能否从某个区间 \([l, r]\) 中选择两个数使得他们的异或等于 \(x\) 。

Solution:我们预处理每个端点对应的左边最近的配点，然后\(O(1)\)回答询问。

详细来说，对于每个右端点我们找到其左边最近的对应位置。进一步，我们考虑对于一个区间，我们只需要存在一个点他的对应端点在区间内就可以了，于是我们需要维护对应端点的区间最大值，RMQ问题可以线段树或者st表解决。

但我们可以利用我们只需要回答存在性，而不用具体回答，我们只需要维护前缀最大值，对于每个查询只需要检验ans[r]>=l即可

int a[N];
int ans[N];
map<int,int>mp;
//ans[i]记录前缀i中能够异或后成x的位置的最大值
void solve(){
	cin>>n>>m;
	int x;cin>>x;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int tmp=a[i]^x;
		if(mp.count(tmp)){
			ans[i]=mp[tmp];
			ans[i]=max(ans[i-1],ans[i]);
		}
		else {
		mp[tmp]=0;
		ans[i]=ans[i-1];
		}
		mp[a[i]]=i;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l,r;cin>>l>>r;
		if(ans[r]>=l)cout<<"yes"<<endl;
		else cout<<"no"<<endl;
	}
}

牛课周赛38F

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/78292/F
来源：牛客网

小苯有一个长度为 \(n\) 的数组 \(a\)，他定义一个数组是好数组，当且仅当该数组是一个回文数组，且长度严格大于 \(2\)。

他现在进行了 \(q\) 次询问，每次询问都给出一段区间 \([l, r]\)，他想知道 \(a\) 在这一段区间中是否存在一个子序列是一个好数组，请你帮帮他吧。
输入描述:

Solution:首先我们注意子序列，然后会发现任何一个长度回文子序列都规约到一个长度为3的回文子序列，所以我们只需要找到对于当前右端点，我们在i-1里去寻找对应的最大位置j满足a[j]==a[i].

对于一个区间来说，我们只需要存在i是的对应的j在区间内，也就是大于L，所以依然是维护区间对应数的最大值。值得注意区别上题的是，我们对于i是需要在i-1的前缀最大值里找答案，因为要求长度为3，所以要有一个空隙。

int n, m;
int a[N];
//我们先找对于每个右端点最近的和他相等的数，当然由于要构造长度
//大于2的回文，所以我们要营造时间差，我们只能在1-i-2开始考虑

int ans[N];
map<int,int>mp;
//我们维护上述这个性质的前缀最大值
void solve(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(mp.count(a[i])){
			ans[i]=max(ans[i-1],mp[a[i]]);
		}
		else {
			ans[i]=ans[i-1];
		}
		mp[a[i-1]]=i-1;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int l,r;cin>>l>>r;
		if(ans[r]>=l)cout<<"YES"<<endl;
		else cout<<"NO"<<endl;
	}
}

广州大学2024校赛E题

链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/77448/E
来源：牛客网

这 \(n\) 颗星星都会发出各种颜色的光，其中第 \(i\) 个星星发出的光的编号为 \(col_i\)；
小A很无聊，于是以第一颗星星为根，用 \(n\) 颗星星建立了一棵树；
一颗星星是 漂亮的 当且仅当以这颗星星为根的子树的所有星星颜色都不同；
到底有多少星星是漂亮的呢？

前言:本题最大N=2e6,\(O(nlogn)\)做法需要非常小的常数，链式前向星登场（bushi。

Solution:首先利用dfs序将树上问题转化到序列上。原问题等价于每次查询区间[l,r]（子树dfs序连续）是不是每个数都不同，我们应该考虑预处理pre[i]表示i上次出现的最近位置，然后\(O(1)\)查询。同样套路的，我们只需要维护前缀最大值就可以了

int n, m;
int a[N];
vector<int>e[N];
int l[N],r[N];
int ans[N];
int tong[N];
int idx=0;
int dfn[N];
//所以dfs序标准写法在哪？
void dfs(int u,int fa){
	dfn[++idx]=u;
	l[u]=idx;
	for(auto v:e[u]){
		if(u==fa)continue;
		dfs(v,u);
	}
	r[u]=idx;
}
void solve(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=n-1;i++){
		int x;cin>>x;
		e[x].push_back(i+1);
	}
	dfs(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int u=dfn[i];
		int col=a[u];
		if(tong[col]){
			ans[i]=max(ans[i-1],tong[col]);
		}
		else {
			ans[i]=ans[i-1];
		}
		tong[col]=i;
	}
	int cnt=0;
	
	//for(int i=1;i<=n;i++)cerr<<dfn[i]<<" ";
	//cerr<<endl;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int u=dfn[i];
		int ql=l[u];
		int qr=r[u];
		//cerr<<u<<" "<<ql<<" "<<qr<<endl;
		if(ans[qr]>=ql)cnt++;
		
	}
	cout<<n-cnt<<endl;
}

出题人标程：dfs过程中计算答案

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,dfn,ans,mx;
vector<int> a,id;
vector<vector<int>> e;
void dfs(int u){
int l=++dfn;
mx=max(mx,id[a[u]]);
id[a[u]]=dfn;
for(int v:e[u])dfs(v);
int r=dfn;
if(mx<l)++ans;
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0),cout.tie(0);
int n;cin>>n;
a.resize(n+1);
id.resize(n+1);
e.resize(n+1);
for(int i=1;i<=n;++i)cin>>a[i];
for(int i=2;i<=n;++i){
int x;cin>>x;
e[x].push_back(i);
}
dfs(1);
cout<<ans<<"\n";
return 0;
}