0 各种积分在符号形式上最直观的区别

一个积分符号

1.不定积分

\begin{align} \int f(x) dx \end{align}

2.定积分

\begin{align} \int_a^b f(x) dx \end{align}

3.反常积分（无穷积分）

\begin{align} \int_{- \infty}^{\infty} f(x) dx \end{align}

4.反常积分（瑕积分）

\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) dx \end{align}

其中$\lim\limits_{x \to a} f(x)= -\infty$与$\lim\limits_{x \to b} f(x)= \infty$至少满足一个.

5.第一型曲线积分（平面曲线）

\begin{align} \int_{\Gamma} f(x,y) ds \end{align}

6.第一型曲线积分（空间曲线）

\begin{align} \int_{\Gamma} f(x,y,z) ds \end{align}

7.第二型曲线积分（平面曲线）（Green's Formula）

\begin{align} \int_{\Gamma} P(x,y) dx + Q(x,y) dy \end{align}

8.第二型曲线积分（空间曲线）（Stokes Formula）

\begin{align} \int_{\Gamma} P(x,y,z) dx + Q(x,y,z) dy + R(x,y,z) dz \end{align}

两个积分符号

9.累次积分（二重）

\begin{align} \int_a^b \int_{y_1 (x)}^{y_2 (x)} f(x,y) dy dx\end{align}

10.重积分

\begin{align} \iint_D f(x,y) dx dy \end{align} 

11.第一型曲面积分

\begin{align} \iint_{\sum} f(x,y,z) dS \end{align} 

12.第二型曲面积分（Gauss Formula）

\begin{align} \iint_{\sum} P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dxdz + R(x,y,z) dxdy \end{align} 

三个积分符号

13累次积分（三重）

\begin{align} \int_a^b \int_{y_1 (x)}^{y_2 (x)} \int_{z_1(y)}^{z_2(y)} f(x,y,z) dz dy dx\end{align}

14.三重积分

\begin{align} \iiint_{\Omega} f(x,y,z) dV \end{align} 

15.定积分的补充：积分变限函数

\begin{align} \int_a^x f(t) dt \end{align}

   

以上所有的积分，有的有几何意义，有的有物理意义，有的两者都有.

定积分：

（几何意义）以$f(x)$为顶与$x$轴上$a$到$b$点平面区域的面积.（物理意义）位移为从$a$到$b$的变速物体走的路程.或者变力从$a$到$b$做的功的大小.

 二重积分：

（几何意义）表示以$f(x,y)$为顶与$xoy$面上的投影所形成的区域之间的体积.（物理意义）平面积分区域看做薄片的话，就是薄片的质量.

三重积分：

（几何意义）当被积函数$f(x,y,z)=1$时，表示三维物体的体积.（物理意义）表示三维物体的质量.

第一型曲线积分：

（几何意义）当被积函数$f(x,y)=1$时，表示积分曲线的长度.（物理意义）将被积函数$f(x,y)$看做是积分曲线上各个点的密度大小，则积分值表示积分曲线的质量.

第二型曲线积分：

（物理意义）将被积函数$P(x,y)$与$Q(x,y)$分别看做积分曲线上各点的力的在$x$与$y$方向上的大小，则积分值表示积分曲线上从$A$到$B$做的功.

第一型曲面积分：

（几何意义）当被积函数$f(x,y,z)=1$时，表示积分曲面的面积.（物理意义）将被积函数$f(x,y,z)$看做是积分曲面上各点的密度大小，则积分值表示积分曲面的质量.

第二型曲面积分：

（物理意义）将被积函数$P(x,y,z)$，$Q(x,y,z)$和$R(x,y,z)$分别看做积分曲线上各点在$x$,$y$和$z$方向上的速率，则积分值表示某流体的流速以$v=((P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$从某双侧曲面S的一侧流向另一侧,单位时间内流经该曲面的流量。

注：

1.上述的几何意义与物理意义并不是唯一的.

2.积分区域是几维的，那么被积函数的一般形式中的自变量就是几个（小于等于），如第一型曲线积分中的空间曲线是三维的，所以如果确定每一个点的密度就需要用$x,y,z$三个变量.