拉格朗日反演

拉格朗日反演

拉格朗日反演用于从隐式生成函数中提取系数

拉格朗日反演定理

如果生成函数\(A(z)\)满足函数方程\(z=f(A(z))\),其中\(f(z)\)满足\(f(0)=0\),且\(f’(0) \neq 0\)，则$$a_n = [z^n]A(z) = \frac{1}{n}u^{n-1}^n$$ $$z^n^m = \frac{m}{n} u^{n-m}^n$$ $$[z^n]g(A(z)) =\frac{1}{n}[u^{{n-1}]g’(u)(\frac{u}{f(u)})}n $$

比如标号树计数生成函数\(C(z)\)满足：$$C(z) = ze^{C(z)}$$ 令\(f(u) = \frac{u}{e^u}\),则$$[z^n]C(z) = \frac{1}{n} [u^{n-1}]e = \frac{1}{n} \frac{n^{{n-1}}{(n-1)!}=\frac{n}{n-1}}{n!}$$