一个有关汉诺塔的习题
把有$n$个圆盘的塔从左边的桩柱A移动到右边的桩柱B，不允许在A和B之间直接移动，求最短的移动序列.（每一次移动都必须是移动到中间的桩柱或者从中间的桩柱移出.像通常一样，较大的圆盘不能放在较小圆盘的上面）.
看到这道题之后，我首先想到的是普通的汉诺塔的解法：
- 先借助C柱子把A柱子上的前n-1个圆盘移动到B柱子上
- 然后把A柱子上最底层的那个圆盘直接移动到C柱子上
- 最后借助A柱子把B柱子上的n-1个圆盘移动到C柱子上
但是这道题限制了A柱子上的圆盘不能直接移动到C柱子上，粗略看来，原来解法的第1步和第2步就是一个非法的操作了。然后......然后我的脑袋就卡壳了。
思索了一会儿实在想不出，就去翻看答案（泪）
答案很简略，基本就只给出了一个递推式:\[X_n=X_{n-1}+1+X_{n-1}+1+X_{n-1}\]并直接给出$X_n=3^n-1$.
不得不说当我第一眼看到这个式子的时候陷入了一阵茫然。一番思考之后，开始了破罐破摔的尝试，既然一开始A柱子上的圆盘不能借助C柱子，那就干脆借助B柱子先移动到C吧，但残酷的现实告诉我，我根本没有清晰的定义什么叫做“借助”，是否这样的借助就一定不会违反事先约定的规则呢？先考虑小规模的问题吧，模拟一下1、2、3个盘子的情形，这种“借助”确实可以在不违反规则的前提下完成约定的状态的转变。再仔细想一下，如果需要把第$i$个盘子移动到C，那么首先肯定需要将它移动到B，这一步是必不可少的，但完成这一步的前提是，它上面$i-1$个盘子都已经移动到了C柱子，这会违规吗？不知道。不过要把前$i-1$个盘子不违规的移动到C，首先得把第$i-1$个圆盘不违规的移动到C，嗯，那它也得先移动到B吧，于是完成这件事情的前提又变成前$i-2$个盘子能不违规的移动到C.......似乎感觉到了啥啊，这样追回去，只要第1个盘子能够从A柱子不违规的移动到C柱子，就行哒......是这样对吧？（不管你信不信，反正我信了- -）
所以现在的思路很明确了，要把这$n$个柱子从A移动到C，必须先将前$n-1$个盘子借助(可以放心大胆的用这词儿了)B移动到C，然后把第$n$个盘子从A柱子移动到B（不然你还想怎么去C呀- -），然后借助（由对称性，这里的“借助”也是well-defined的）B柱子，把C柱子上的$n-1$个圆盘移动到A柱子（酱子才能让B上的那个大圆盘去C嘛），最后再借助B柱子，把A柱子上的$n-1$个圆盘移动到C柱子上就完成了。同时我们可以看到，这里的每一步都是必须的，换种说法，这应该就是传说中的最短的移动方法。
现在再去看那个递推式子，肿么样，懂了吧？
顺便给出C++代码：
#include<iostream> using namespace std; long long count=0; void Hanoi(int n,int p1,int p2,int p3) { if(n==1) { cout<<p1<<"-->"<<p2<<endl; cout<<p2<<"-->"<<p3<<endl; count+=2; } else { Hanoi(n-1,p1,p2,p3); cout<<p1<<"-->"<<p2<<endl;count++; Hanoi(n-1,p3,p2,p1); cout<<p2<<"-->"<<p3<<endl;count++; Hanoi(n-1,p1,p2,p3); } } int main() { Hanoi(2,1,2,3); cout<<count<<endl; return 0; }
