一种简单递归式的求解

形如$a_nT_n=b_nT_{n-1}+c_n$，我们用一个$s_n$来乘两边

\[s_na_nT_n=s_nb_nT_{n-1}+s_nc_n\]

我们希望这个$s_n$满足$s_nb_n=s_{n-1}a_{n-1}$,如果这样，就令$M_n=s_na_nT_n$,原式就化为

\[M_n=M_{n-1}+s_nc_n\]

容易求得

\[M_n=M_0+\sum_{k=1}^ns_kc_k\]

从而

\[T_n=\frac{1}{s_na_n}\bigg(s_0a_0T_0+\sum_{k=1}^ns_kc_k\bigg)\]

但是，怎样才能找到这样的$s_n$呢？

注意到我们所希望的

\[s_nb_n=s_{n-1}a_{n-1}\]

将其展开可以得到

\[s_n=\frac{a_{n-1}a_{n-2}\dots a_1s_1}{b_nb_{n-1}\dots b_2}\]

事实上，我们可以舍弃上式中的$s_1(s_1\neq0)$,直接取$s_n=\dfrac{a_{n-1}a_{n-2}\dots a_1}{b_nb_{n-1}\dots b_2}$或其常数倍即可满足条件$s_nb_n=s_{n-1}a_{n-1}$