树与树算法

树(英语:tree)是一种抽象数据类型(ADT)或是实作这种抽象数据类型的数据结构,用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n(n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。

特点:每个节点有另个或者多个节点;没有父节点的节点分为根节点;每个非根节点只有一个父节点;除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树;

 相关术语

  • 树的结点(node):包含一个数据元素及若干指向子树的分支;
  • 孩子结点(child node):结点的子树的根称为该结点的孩子;
  • 双亲结点:B 结点是A 结点的孩子,则A结点是B 结点的双亲;
  • 兄弟结点:同一双亲的孩子结点; 堂兄结点:同一层上结点;
  • 祖先结点: 从根到该结点的所经分支上的所有结点子孙结点:以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙
  • 结点层:根结点的层定义为1;根的孩子为第二层结点,依此类推;
  • 树的深度:树中最大的结点层
  • 结点的度:结点子树的个数
  • 树的度: 树中最大的结点度。
  • 叶子结点:也叫终端结点,是度为 0 的结点;
  • 分枝结点:度不为0的结点;
  • 有序树:子树有序的树,如:家族树;
  • 无序树:不考虑子树的顺序;

 

树种类:

无序树:树中任意节点的子节点之间没有顺序关系,这种树称为无序树,也称为自由树;

有序树:树中任意节点的子节点之间有顺序关系,这种树称为有序树;

二叉树:每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树;

  • 完全二叉树:对于一颗二叉树,假设其深度为d(d>1)。除了第d层外,其它各层的节点数目均已达最大值,且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列,这样的二叉树被称为完全二叉树,其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
  •  

  • 平衡二叉树(AVL树):当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树;
  •  

  • 排序二叉树(二叉查找树(英语:Binary Search Tree),也称二叉搜索树、有序二叉树);
  •  

霍夫曼树(用于信息编码):带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树;给定n个权值作为n个叶子结点,构造一棵二叉树,若该树的带权路径长度达到最小,称这样的二叉树为最优二叉树,也称为哈夫曼树(Huffman Tree)。哈夫曼树是带权路径长度最短的树,权值较大的结点离根较近。

B树:一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树,能够保持数据有序,拥有多余两个子树。

 

二叉树定义:二叉树是每个结点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”(left subtree)和“右子树”(right subtree)。二叉树常被用于实现二叉查找树和二叉堆。

二叉树性质

  • (1) 在非空二叉树中,第i层的结点总数不超过  , i>=1;
  • (2) 深度为h的二叉树最多有  个结点(h>=1),最少有h个结点;
  • (3) 对于任意一棵二叉树,如果其叶结点数为N0,而度数为2的结点总数为N2,则N0=N2+1;
  • (4) 具有n个结点的完全二叉树的深度为  (注:[ ]表示向下取整)
  • (5)有N个结点的完全二叉树各结点如果用顺序方式存储,则结点之间有如下关系:若I为结点编号则 如果I>1,则其父结点的编号为I/2;如果2*I<=N,则其左孩子(即左子树的根结点)的编号为2*I;若2*I>N,则无左孩子;如果2*I+1<=N,则其右孩子的结点编号为2*I+1;若2*I+1>N,则无右孩子。
  • (6)给定N个节点,能构成h(N)种不同的二叉树。h(N)为卡特兰数的第N项。h(n)=C(2*n,n)/(n+1)。
  • (7)设有i个枝点,I为所有枝点的道路长度总和,J为叶的道路长度总和J=I+2i

 

二叉树的遍历,

先序遍历:遍历顺序规则为【根左右】

中序遍历:遍历顺序规则为【左根右】

后序遍历:遍历顺序规则为【左右根】

 代码实现

# Author:song
class Node(object):
    def __init__(self,item):
        self.elem = item
        self.lchild = None
        self.rchild = None

class Tree(object):
    """二叉树"""
    def __init__(self):
        self.root = None

    def add(self,item):
        node = Node(item)
        if self.root is None:
            self.root = node
            return
        queue = [self.root]
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)
            if cur_node.lchild is None:
                cur_node.lchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.lchild)
            if cur_node.rchild is None:
                cur_node.rchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.rchild)

    def breadth_travel(self):
        """广度遍历"""
        if self.root is None:
            return
        queue = [self.root]
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)
            print(cur_node.elem,end=',')
            if cur_node.lchild is not None:
                queue.append(cur_node.lchild)
            if cur_node.rchild is not None:
                queue.append(cur_node.rchild)
        print('')
    def preorder(self,node):
        """先序遍历"""
        if node is None:
            return
        print(node.elem,end=',')
        self.preorder(node.lchild)
        self.preorder(node.rchild)

    def inorder(self,node):
        """中序遍历"""
        if node is None:
            return
        self.inorder(node.lchild)
        print(node.elem, end=',')
        self.inorder(node.rchild)


    def posorder(self,node):
        """后序遍历"""
        if node is None:
            return
        self.posorder(node.lchild)
        self.posorder(node.rchild)
        print(node.elem, end=',')

if __name__ == "__main__":
    tree = Tree()
    tree.add(0)
    tree.add(1)
    tree.add(2)
    tree.add(3)
    tree.add(4)
    tree.add(5)
    tree.add(6)
    tree.add(7)
    tree.add(8)
    tree.add(9)
    print('广度优先:')
    tree.breadth_travel()
    print('先序遍历:')
    tree.preorder(tree.root)
    print('')
    print('中序遍历:')
    tree.inorder(tree.root)
    print('')
    print('后序遍历:')
    tree.posorder(tree.root)


结果:
广度优先:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,
先序遍历:
0,1,3,7,8,4,9,2,5,6,
中序遍历:
7,3,8,1,9,4,0,5,2,6,
后序遍历:
7,8,3,9,4,1,5,6,2,0,
View Code

 

通过两个序列可以确定一棵树,其中必定有中序,只给先序后序无法确定一棵树。

posted @ 2018-09-08 12:54  Mr.SSC  阅读(336)  评论(0编辑  收藏  举报