树状数组学习笔记

树状数组的基本操作这里就不再赘述（反正是笔记，我自己也记得）

单点修改，区间查询：

例题：树状数组1

int lowbit(int x){return (x&-x);}
struct bit{
    int c[N];
    void add(int x,int v){for(;x<=n;x+=lowbit(x))c[x]+=v;}
    int query(int x){
      int res=0;
      for(;x;x-=lowbit(x))res+=c[x];
      return res;
   }
};

区间修改，单点查询：

例题：树状数组2

这个实现十分的简单，我们只需要一颗树状数组维护一个差分序列就可以了。

struct bit2{
    int c[N];
    void add(int l,int r,int v){
        r++;
        for(;l<=n;l+=lowbit(l))c[l]+=v;
        for(;r<=n;r+=lowbit(r))c[r]-=v;
    }
    int query(int x){
        int res=0;
        for(;x;x-=lowbit(x))res+=c[x];
        return res;
    }
};

下面是的才是我想记录的：

区间修改，区间查询：

考虑和区间修改，单点查询一样，维护一个差分序列。

令原序列为 aa , 差分序列为 bb 。

我们的区间查询 \sum_{i=1}^n a_i∑i=1n​ai​

根据差分的定义，我们区间查询转化为了 \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^i b_j∑i=1r​∑j=1i​bj​

拆开柿子推导一下：

\sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^i b_j∑i=1r​∑j=1i​bj​

= b_1+2b_2+3b_3+4b_4……=b1​+2b2​+3b3​+4b4​……

= \sum_{i=1}^r b_i\times (r-i+1)=∑i=1r​bi​×(r−i+1)

= \sum_{i=1}^r b_i\times (r+1)-\sum_{i=1}^r b_i\times i=∑i=1r​bi​×(r+1)−∑i=1r​bi​×i

于是我们开两个树状数组维护 b_ibi​ 和 b_i\times ibi​×i

例题：线段树1

struct bit3{
    int b[N],c[N];
    void add(int l,int r,int v){
        r++;int vl=l*v,vr=r*v;
        for(;l<=n;l+=lowbit(l)){
            b[l]+=v;
            c[l]+=vl;   
        }
        for(;r<=n;r+=lowbit(r)){
            b[r]-=v;
            c[r]-=vr;
        }
    }
    int query(int x){
        int a1=0,a2=0,j=x,i=x;
        for(;i;i-=lowbit(i))a1+=b[i];
        for(;j;j-=lowbit(j))a2+=c[j];
        return a1*(x+1)-a2;
    }
};

你以为这就结束了？不！

这才刚刚开始。

二维树状数组，单点修改，平面区间查询

例题：二维树状数组1

struct bit4{
    int c[M][M];
    void add(int x,int y,int v){
        for(;x<=n;x+=lowbit(x)){
            int i=y;
            while(i<=n)c[x][i]+=v,i+=lowbit(i); 
        }           
    }
    int query(int x,int y){
        int res=0;
        for(;x;x-=lowbit(x))for(int i=y;i;i-=lowbit(i))res+=c[x][i];
        return res;
    }
};

二维树状数组，平面区间修改，单点查询

和一维树状数组一样，二维前缀和的操作代码里有，其他的都一样。

例题：二维树状数组2

struct bit5{
    int c[M][M];
    void ad(int x,int y,int v){
        for(;x<=n;x+=lowbit(x)){
            int i=y;
            while(i<=n)c[x][i]+=v,i+=lowbit(i); 
        }           
    }
    void add(int x,int y,int v){
        ad(x,y,v);ad(x+1,y,-v);ad(x,y+1,-v);ad(x+1,y+1,v);
    }
    int query(int x,int y){
        int res=0;
        for(;x;x-=lowbit(x))for(int i=y;i;i-=lowbit(i))res+=c[x][i];
        return res;
    }
};

最后，我们来看大BOSS

你准备好了吗？

二维树状数组，平面区间修改，平面区间查询

和一维基本思路是一致的，我们先推推柿子

\sum_{i=1}^x \sum_{j=1}^y a_{i,j}∑i=1x​∑j=1y​ai,j​

=\sum_{i=1}^x \sum_{j=1}^y \sum_{k=1}^i \sum_{t=1}^j b_{k,t}=∑i=1x​∑j=1y​∑k=1i​∑t=1j​bk,t​

（将柿子展开，跳一步。）

=(x+1)(y+1)\sum_{i=1}^x \sum_{j=1}^y b_{i,j}- (x+1)\sum_{i=1}^x \sum_{j=1}^y b_{i,j}\times j- (y+1)\sum_{i=1}^x \sum_{j=1}^y b_{i,j}\times i+ \sum_{i=1}^x \sum_{j=1}^y b_{i,j}\times ij=(x+1)(y+1)∑i=1x​∑j=1y​bi,j​−(x+1)∑i=1x​∑j=1y​bi,j​×j−(y+1)∑i=1x​∑j=1y​bi,j​×i+∑i=1x​∑j=1y​bi,j​×ij

或者把柿子换行方便查看：

=(x+1)(y+1)\sum_{i=1}^x \sum_{j=1}^y b_{i,j}=(x+1)(y+1)∑i=1x​∑j=1y​bi,j​

- (x+1)\sum_{i=1}^x \sum_{j=1}^y b_{i,j}\times j−(x+1)∑i=1x​∑j=1y​bi,j​×j

- (y+1)\sum_{i=1}^x \sum_{j=1}^y b_{i,j}\times i−(y+1)∑i=1x​∑j=1y​bi,j​×i

+ \sum_{i=1}^x \sum_{j=1}^y b_{i,j}\times ij+∑i=1x​∑j=1y​bi,j​×ij

现在我们可以码出来了

例题：上帝造题的七分钟

struct bit6{
    int a[M][M],b[M][M],c[M][M],d[M][M];
    void ad(int x,int y,int v){
        int vx=v*(x-1),vy=v*(y-1),vij=v*(x-1)*(y-1);
        for(;x<=n;x+=lowbit(x)){
            int i=y;
            while(i<=m){
                a[x][i]+=v;
                b[x][i]+=vy;
                c[x][i]+=vx;
                d[x][i]+=vij;
                i+=lowbit(i);   
            }
        }           
    }
    void add(int a,int b,int c,int d,int v){
        ad(a,b,v);ad(c+1,b,-v);ad(a,d+1,-v);ad(c+1,d+1,v);
    }
    int qu(int x,int y){
        int a1=0,a2=0,a3=0,a4=0;
        for(int i=x;i;i-=lowbit(i)){
            for(int j=y;j;j-=lowbit(j)){
                a1+=a[i][j];
                a2+=b[i][j];
                a3+=c[i][j];
                a4+=d[i][j];
            }
        }
        return a1*x*y-a2*x-a3*y+a4;
    }
    int query(int a,int b,int c,int d){
        return qu(c,d)-qu(c,b-1)-qu(a-1,d)+qu(a-1,b-1);
    };
}