CF1903D：Maximum And Queries 题解

D：

题意：给你一个数列a，Q个独立询问，每次操作给一个数加一，k次操作后最大化数列a的与值。

Solution：

因为是最大化与值，那高位和低位就不冲突了，贪心看每一位能不能成为答案的一部分。

我们用res表示已经确定成为答案的高位和，当我们考虑第 i 位能不能加入答案时，我们计算三种数的花费：

1：这个数为了让高位成为答案，低位已经被磨平了棱角（悲），那么花费就是 \(2^i\) 。

2：这个数res的每一位它都有，也就是说低位还在，但是它第 i 位是0，需要补齐到第 i 位，那么低位就要被磨平了，花费是 \(2^i-sum[i]\)，\(sum[i]\) 是它低 i 位的和。

3：这个数很坚强，res的每一位它都有，第 i 位也有，不用管它，花费为 0。

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第一种数从何而来，就是从第二种来，用 \(num\) 表示第一种数的个数，每一位如果被确定为答案，就把第二种数的数量加给 num。

发现第二种数与res有关，哪些高位被确定成答案，直接影响每一个数是否被磨平。我们设 \(f[res][i]\) 表示当前答案为 \(res\) 时高位它都有，但是第 i 位为零的数的数量，\(g[res][i]\) 表示这些数后 i 位的和。那么第二种数的花费就是：\(2^i*f[res][i]-g[res][i]\)。

这一位计算完成后，\(num+=f[res][i]\)。

当你以为设出状态来这题就结束时，却发现 f 数组和 g 数组怎么算成为了这道题的难点。其实也不难，只需要掌握一个小小的科技，就是子集DP。一看就懂的子集DP

对于每一个数，查看其为0的数位 i，res 作为 i 的高位的子集时，更新 f 数组和 g 数组，也就是说高位是超集，贡献向子集传递（高维后缀和）。

my submission

这题我们枚举res位数是从20开始向下的，但是答案可能很大，需要把那些答案大于20位的询问直接处理掉。