威尔逊定理 费马小定理 欧拉定理 扩展欧拉定理

威尔逊定理 费马小定理 欧拉定理 扩展欧拉定理

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3.威尔逊定理

若 \(p\) 为一质数，则有 \(p | (p - 1)! + 1\)，即 \((p - 1)! \equiv -1(mod \ p)\)。

逆定理亦成立，即若有一正整数 \(p\)，满足 \((p - 1)! \equiv -1 (mod \ p)\)，则 \(p\)为一质数。

2.费马小定理

设\(p\)为质数，又有一 \(a\) 与 \(p\) 互质，则有 \(a^{p - 1} \equiv 1(mod\ p)\)。

3.欧拉定理

1.欧拉函数

\(\phi(n)\)表示对于正整数 \(n\)，小于等于 \(n\) 的，与 \(n\) 互质的数的个数。

1.若 \(n\) 为一素数，则 \(\phi(n) = p - 1\)；

2.若 \(n\) 为某一素数 \(p\) 的 \(a\) 次幂，则 \(\phi(n) = \phi(p^a) = (p - 1)\cdot p^{a - 1}\)；

3.若 \(n\) 为任意两个数 \(a\) 和 \(b\) 的积，那么 \(\phi(a \times b) = \phi(a) \times \phi(b)\)；

4.设 \(n\) 的唯一分解式为 \(p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times …… \times p_k^{a_k}\)，则 \(\phi(n) = n \times (1 -\dfrac{1}{p_{1}}) \times (1 - \dfrac{1}{p_2}) \times …… \times (1 - \dfrac{1}{p_k})\)。

2.欧拉定理

设 \(n\)，\(a\) 为正整数且互质，则 \(a^{\phi(n)} \equiv 1 (mod \ n)\)。

4.扩展欧拉定理

\[a^b \equiv \begin{cases} a^{b \ mod \ \phi(p)}&, gcd(a, p)=1\\ a^b\qquad &,gcd(a, p) \neq 1,b > \phi(p)\\ a^{(b\ mod\ \phi(p)\ +\ \phi(p))}&, gcd(a, p) \neq 1, b \leqslant \phi(p) \end{cases} \]