The Definition of Tangent Vector

前段时间又重新思考了一下流形上切向量的各种定义是怎么来的, 很自然地从欧氏空间中切向量的定义开始想起. 回想起来欧氏空间中参数曲线的切向量往往通过计算参数曲线在某点的速度向量来求得, 于是又不禁疑问物理中某点的速度一开始是怎么定义的, 以及为什么 $(x'(t), y'(t), z'(t))$ 就是 $\boldsymbol{r}(t)$ 处的速度向量. 翻看卓里奇第一卷第 5 章得知在物理中由于在很短的时间段内运动可以看成匀速直线运动, 故将质点在某点的瞬时速度定义为\[\boldsymbol{v}(t_0)=\lim_{t\to t_0}\frac{\boldsymbol{r}(t)-\boldsymbol{r}(t_0)}{t-t_0},\] 也就是 $\boldsymbol{r}(t)$ 在 $t_0$ 处的导数. 但是这个导数的存在性还需证明.

简单起见，我们只考虑在直线上运动的情形. 考察时间区间 $[0, T]$. 不失一般性, 设质点在 $t=0$ 时位移为 $0$, 且处于静止状态. 从 $t=0$ 开始, 质点受到力 $F(t)$ 的作用. 假设 $F(t)$ 是有限个连续变化的力 (可能在不同时间段) 的叠加, 则 $F(t)$ 在 $[0, T]$ 上有界并且可积 ([1] 6.1.3, Corollary 2).

受力运动的计算离不开牛顿第二定律, 但是牛顿第二定律已经涉及瞬时速度. 我想我们可以这样来理解: 质点起初处于静止或匀速直线运动状态, 从时刻 $t_1$ 到时刻 $t_2$ 受力作变速运动, 从时刻 $t_2$ 开始再次回到受力平衡的状态. 我们可以把初末阶段的速度作为时刻 $t_1$ 和 $t_2$ 的瞬时速度. 于是牛顿第二定律可以表示为 \[m(v(t_2)-v(t_1))=\int_{t_1}^{t_2} F(\tau)d\tau.\] 回到上一段设定的情况, 根据牛顿第二定律可以求得质点在时刻 $t$ 的速度为 \[v(t)=\frac{1}{m}\int_0^t F(\tau)d\tau.\] 由于 $F(t)$ 有界, 易知 $v(t)$ 一致连续.

问题  $\int_0^t v(\tau)d\tau$ 是否就是质点实际的位移? 

答案是肯定的. 可以通过 The Principia Book I Section I Lemma II 的思路证明.

更一般地, 在一小段时间上, $v_{min}\Delta t\le \Delta x\le v_{max}\Delta t$. (可通过实验或常识看出.) 而 $\sum v_{min}\Delta t$ 与 $\sum v_{max}\Delta t$ 都收敛到 $\int_0^t v(\tau)d\tau$. 于是 $x(t)=\int_0^t v(\tau)d\tau$. 这样根据数学分析中的定理 (例如 [1] 6.3.1, Lemma 1) 可知 $x(t)$ 在点 $t_0\in [0, T]$ 处可微, 且 $x'(t_0)=v(t_0)$, 也就是说用平均速度的极限来定义瞬时速度是有意义的, 而且与前文中的定义是等价的.

当然还有一种更直接的证明. 由于我们只关心 $t_0$ 前后一小段时间的运动, 所以总是可以认为 $v(t)$ 是单调的. 因此显然有 \[v_{min}(t-t_0)\le x(t)-x(t_0)\le v_{max}(t-t_0),\] 于是 \[v_{min}\le \frac{x(t)-x(t_0)}{t-t_0}\le v_{max}.\] 当 $t\to t_0$ 时, 由于 $v(t)$ 连续, $v_{min}$, $v_{max}$ 均趋于 $v(t_0)$.

Reference
[1] Vladimir A. Zorich. Mathematical Analysis I. 2nd ed. Universitext. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2015.