清华集训2016做题记录

清华集训2016做题记录

已完成

• 【清华集训2016】Alice和Bob又在玩游戏
• 【清华集训2016】魔法小程序
• 【清华集训2016】如何优雅的求和
• 【清华集训2016】石家庄的工人阶级队伍比较坚强
• 【清华集训2016】你的生命已如风中残烛
• 【清华集训2016】温暖会指引我们前行
• 【清华集训2016】组合数问题
• 【清华集训2016】汽水

未完成

• 【清华集训2016】数据交互
• 【清华集训2016】工厂
• 【清华集训2016】连通子树
• 【清华集训2016】定向越野

我好菜啊，每道题都要贺来贺去，剩下的题咕了，几何写不动，数据结构太胖，题答题会玩。

【清华集训2016】Alice和Bob又在玩游戏

这显然是一个平等博弈，考虑用 \(\text{SG}\) 定理解决，即 \(SG(u)\) 为以 \(u\) 为根的子树做为一个游戏的 \(SG\) 函数值，那么我们要求的就是 \(u\) 的后继集合的 \(\text{mex}\) 。

对于选 \(u\) 子树内点 \(v\) 的决策，该后继的集合的 \(SG\) 值为删去 \(u\rightarrow v\) 这条链后每个子树根的 \(SG\) 值异或起来，对于子树内每个点 \(v\)，当前根的游戏里选 \(v\) 得到的 \(SG\) 值，那么每次加入一个祖先相当于给这个值异或上某个值。

问题等价于支持一个集合异或上一个值，合并两个集合，查询一个集合第一个没有出现的元素，那么用线段树合并即可，区间异或相当于打一个翻转标记。

【清华集训2016】魔法小程序

这个程序在做的事情是， 令 \(d_{i,j}=\lfloor \frac{b_i}{\prod_{k=1}^{j-1}a_k}\rfloor\bmod a_j\)，对于每一个 \(d_i\) 求一个高维前缀和。

那么我们要做的事情就是还原这个高维前缀和，枚举每一维减一下就好了，卡空间差评。

【清华集训2016】如何优雅的求和

考虑用下降幂多项式 \(f(x)= \sum_{i=0}^n a_i x^{\underline{i}}\)，那么有：

\[\begin{align} Q(f,n,x) &= \sum_{k = 0}^{n}f(k){n\choose k}x^k(1 - x) ^{n - k} \\ &=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^ma_ji^{\underline{j}}{n\choose i}x^i(1 - x) ^{n - i} \\ &=\sum_{i=0}^ma_i\sum_{j=0}^n\frac{j!}{(j-i)!}\frac{n!}{(n-j)!j!}x^j(1-x)^{n-j} \\ &=\sum_{i=0}^ma_i\sum_{j=0}^n\frac{n!}{(n-j)!(j-i)!}x^j(1-x)^{n-j}\\ &=\sum_{i=0}^ma_in!\sum_{j=0}^n\frac{x^j}{(j-i)!}\frac{(1-x)^{n-j}}{(n-j)!} \\ &=\sum_{i=0}^ma_ix^in!\sum_{j=0}^n\frac{x^{j-i}}{(j-i)!}\frac{(1-x)^{n-j}}{(n-j)!}\\ &=\sum_{i=0}^ma_ix^in\\ &=\sum_{i=0}^ma_ix^i\frac{n!}{(n-i)!} \end{align} \]

我们要将一个点值转成一个下降幂多项式

\[b_i=\sum_{j=0}^ma_j\frac{i!}{(i-j)!}\\ \frac{b_i}{i!}=\sum_{j=0}^m\frac{a_j}{(i-j)!} \\ \]

记 \(A(x)=\sum_{i=0}^m a_ix^i\) ，\(B(x)=\sum_{i=0}^m \frac{b_i}{i!} x^i\) ，那么就有 \(A(x)=\frac{B(x)}{e^x}\) 。

其实插值就过了，然而贺之前并没有想到这是一个 \(m+1\) 次多项式。

【清华集训2016】石家庄的工人阶级队伍比较坚强

设剪刀为 \(0\) ，石头为 \(1\)，布为 \(2\) ，这个胜负关系就是三进制不退位减法，那么 \(x\) 和 \(y\) 玩一轮比赛的贡献就是 \(B[cnt1(x\ominus y)][cnt2(x\ominus y)]\) ，记这个值为 \(b_{x\ominus y},f_x\) 为上一轮结束时 \(x\) 的得分 \(F_x\) 为这一轮结束时 \(x\) 的得分那么有

\[F_x=\sum_{y}f_yb_{x\ominus y} \\ F_k=\sum_{x\oplus y=k}f_xb_y \]

我们要求的是 \(F\times b^T\) 。

本质也就是一个三进制不进位加法的卷积，高维FWT即可。

考虑傅里叶变换的时候是做这样一件事情记 \(B_i\) 为点值 ，\(A_i\) 为系数，

\[B_i=\sum_{j=0}^n\omega_{k}^{ij}A_j \]

上面那个式子本质上是一个向量乘范特蒙德矩阵

\[T_n = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & \omega_n ^ 1 & \omega_n ^ 2 & \ldots & \omega_n ^ {n - 1} \\ 1 & \omega_n ^ 2 & \omega_n ^ 4 & \ldots & \omega_n ^ {2(n - 1)} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ddots & \ldots \\ 1 & \omega_n ^ {n - 1} & \omega_n ^ {2(n - 1)} & \ldots & \omega_n ^ {(n - 1)(n - 1)} \\ \end{bmatrix} \]

逆矩阵是

\[T_n ^ {-1} = \frac{1}{n} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & \omega_n ^ {-1} & \omega_n ^ {-2} & \ldots & \omega_n ^ {-(n - 1)} \\ 1 & \omega_n ^ {-2} & \omega_n ^ {-4} & \ldots & \omega_n ^ {-2(n - 1)} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ddots & \ldots \\ 1 & \omega_n ^ {-(n - 1)} & \omega_n ^ {-2(n - 1)} & \ldots & \omega_n ^ {-(n - 1)(n - 1)} \\ \end{bmatrix} \]

(感谢愤怒的种狗教我这个题并给我这两个矩阵)

那么这个题就是 \(k=3\) 的情况，枚举每一维做直接套上面那个线性变换就好了。

比较恶心的一点是直接用单位根会爆精，要考虑模意义下的单位根，但单位根解出来是 \(\omega = \frac{-1 + \sqrt 3 i}{2}\)，所以还要扩域在 \(ar+b\sqrt{3}i\) 域上做。

【清华集训2016】你的生命已如风中残烛

根据 Raney 引理可以得到一个结论，对于所有和为 \(1\) 的整数序列，其所有圆排列中有且仅有一个满足所有的前缀和都大于 \(0\) 。

先证明至多存在一个，考虑反证，假设存在两个位置 \(x, y\) ，满足以 \(x,y\) 为第一个元素的排列部分和均为大于 \(0\) ，那么 \(x\) 到 \(y\) 的两条路径和均 \(>0\) ，也就是说整个序列的和 \(>1\) ，与整个序列和为 \(1\) 矛盾。

考虑证明至少一个，构造一下，随便钦定一个第一个元素，找到第一个前缀和 \(\leq 0\) 的位置 \(x\) ，如果不存在这样一个位置就已经构造出来了。那么此时钦定 \(x+1\) 为第一个元素，可以得知 \(x+1\) 到原先结尾的所有前缀和都是大于 \(0\) 的，又因为原先第一个元素到 \(x-1\) 所有前缀和都是大于 \(0\) 的，这样就构造出来了。

这个时候再大力搞一搞，先把所有卡的值 \(-1\) ，然后再在随便加一个 \(-1\) 的元素，那么要求的排列满足除最后一位外任意时刻前缀和 \(\geq0\) ，类似的证明过程会发现一个圆排列只有一个满足，且满足的圆排列最后一位一定是 \(-1\) ，最后去一下标号就得到了答案为 \(\frac{m!}{m-n+1}\) 。

【清华集训2016】温暖会指引我们前行

因为要字典序最大化一个瓶颈路一样的东西，不难发现每次走的路径一定是温度的最大生成树上的路径，那么只需要用LCT维护一下这个最大生成树就好了。

【清华集训2016】组合数问题

先卢卡斯定理

\[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n [{i\choose j}\equiv0(\bmod k)]=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^n [{\lfloor\frac{i}{k}\rfloor\choose \lfloor\frac{j}{k}\rfloor}{i \bmod k \choose j \bmod k}] \]

考虑一直做下去会得到若干个 \({x_i\choose y_i},x_i,y_i < k\) 的形式，如果当中某一步出现 \(y_i > x_i\) ，那么最终的结果就为 \(0\)，否则一定不为 \(0\)。

这个 \(x_i,y_i\) 实际上就是 \(i\) 在 \(k\) 进制下的每一位，那么我们直接把 \(n,m\) 放到 \(k\) 进制下就可以直接做数位DP了。

具体来说每次就记一下大小关系已经是否已经出现了一位 \(y_i >x_i\) ，一开始处理的时候细节比较多。

【清华集训2016】汽水

比较明显的分数规划，二分一个答案为 \(mid\) ，那么利用初中不等式知识就可以转化题意了。

\[|\frac{\sum w_i}{size}-k|\leq mid \\ (k-mid)size\leq \sum w_i\leq(k+mid)size \\ \]

记 \(k_1 =k-mid,k_2=k+mid,W_1=\sum w_i-sizek_1,W_2=sizek_2-\sum w_i\)

显然 \(W_1,W_2\) 可以直接合并，而我们的目标是判断是否存在一条路径 \(W_1\geq 0\) 且 \(W_2 \geq 0\) ，点分后扫描线加two-pointer即可。