摘要：给定整数 \(a,b,p\) 且 \(a,p\) 互质，请求出高次同余方程 \(a^x\equiv b\pmod p\) 的非负整数解. 首先， \(a^0\equiv 1\pmod p\) 又由欧拉定理知 \(a^{\varphi(p)}\equiv 1\pmod p\) 所以出现了周期. 所以 阅读全文

摘要：一、逆元的意义 在一道题中，如果既有除法又有取余，那么是不能直接除的： \(\dfrac{a}{b}\bmod p\ne \dfrac{a\bmod p}{b\bmod p}\) 这时候逆元就登场了. 众所周知，\(a\cdot a^{-1}=1\)，类似地定义 \(a\) 在模 \(p\) 意义下 阅读全文

摘要：对于任意 整数 \(a,b,m\)，若有关于 整数 \(x,y\) 的方程 \(ax+by=m\) 则该方程有解的充要条件为 \(\gcd(a,b)\mid m\). 证明： \(\because \gcd(a,b)\mid a,\gcd(a,b)\mid b\) \(\therefore \gcd 阅读全文

摘要：二元一次不定方程 扩展欧几里得算法，简称 扩欧 或 \(\rm exgcd\)），是用来求出方程 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的整数解的，其中 \(a,b\) 均为整数. 前置芝士：欧几里德算法 与 裴蜀定理。 我们考虑欧几里德算法的最后一步，当 \(b=0\) 时，要使得 \(ax+0 阅读全文

摘要：欧几里德算法，通俗点：辗转相除法，是求两个数的 \(\gcd\) 的一种办法. \(若 a,b 均为整数,则 \gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b).\) 证明： 当 \(a<b\) 时，\(a\bmod b=a\)，有 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\) 成立. 当 \( 阅读全文