随笔分类 - 数学
摘要：P4449 于神之怒加强版 Description 多测，数据组数为 \(T\)。 给定 常数 \(k\) 和整数 \(n, m\)，计算 \[ \left[\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m \gcd(i, j)^k \right] \bmod (10^9 + 7) \]
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摘要：Lucas的数论 Description 给定整数 \(n\)，求 \[ \left[\sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n d(ij)\right] \bmod (10^9 + 7) \] 对于 \(100\%\) 的数据 \(n\le 10^9\)。 Solution \[
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摘要：Description 给定整数 \(n, m\)，求 \[ \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m 2 \gcd(i, j) - 1 \] 对于 \(100\%\) 的数据：\(1 \le n, m \le 10^5\)。 Solution 不妨设 \(n\le m\)。 \[
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摘要：P3768 简单的数学题 Description 给定整数 \(n,p\)，请求出 \[ \left(\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^n ij \gcd(i, j) \right) \bmod p \] 对于 \(100\%\) 的数据，\(n\le 10^{10}, 5
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摘要：一、前置知识 艾佛森括号 \[ [P] = \begin{cases} 1 & \text{if}\ P\ \text{is true} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \] 其中 \(P\) 是一个可真可假的命题。 如 \([114514\le 191981
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摘要：一、前置知识 积性函数 二、定义 狄利克雷卷积（\(\rm{Dirichlet\ product}\)），定义为在 数论函数 之间的一种二元运算，它是今后诸多算法如 莫比乌斯反演、杜教筛 的基础。 地雷卷积和懵逼繁衍 具体地： \[ (f * g)(n) = \sum\limits_{xy=n} f
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摘要：Description 数论分块，通常用于快速求解形如 \(\sum\limits_{i=1}^n f(i) \cdot g\left(\left\lfloor\frac{n}{i}\right\rfloor\right)\) 的和式，所以通常被称为 整除分块，当能用 \(O(1)\) 计算出 \(
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摘要：P5303 [GXOI/GZOI2019]逼死强迫症 Preface 矩阵题的登峰造极之作。 Description 有 \(T\) 组数据。 对于每组数据，给定正整数 \(N\)，请求出用 \((N-1)\) 个 \(2\times 1\) 的方格和 \(2\) 个 \(1\times 1\) 的
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摘要：P3301 [SDOI2013]方程 Description 给定方程及不等式组 \[ \begin{cases} x_1+x_2+\cdots+x_n=m\\ \\ x_1\le a_1\\ x_2\le a_2\\ \cdots\\ x_{n1}\le a_{n1}\\ \\ x_{n1+1}\
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摘要：Description 求 \[ \dbinom{n}{m}\bmod p \] 其中 \(p\) 较小且 不保证 \(p\) 是质数。 Method 前置芝士： 中国剩余定理 因为 \(p\) 不为质数，所以得使用扩展卢卡斯定理（\(\rm Extended\ Lucas,exLucas\)）。
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摘要：
P5345 【XR-1】快乐肥宅 Preface 好题！！！ 当然也很毒瘤。 突然感到屠龙勇士在这题面前 就是逊内！！！ Description 给定高次同余方程组 \[ \begin{cases} k_1^x\equiv r_1\pmod {g_1}\\ k_2^x\equiv r_2\pmod
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P5345 【XR-1】快乐肥宅 Preface 好题！！！ 当然也很毒瘤。 突然感到屠龙勇士在这题面前 就是逊内！！！ Description 给定高次同余方程组 \[ \begin{cases} k_1^x\equiv r_1\pmod {g_1}\\ k_2^x\equiv r_2\pmod
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摘要：与恶龙缠斗过久，自身亦成为恶龙。凝视深渊过久，深渊将回以凝视。 ——尼采 《善恶的彼岸》 P4774 [NOI2018] 屠龙勇士 Description 玩家需要按照编号 \(1 \to n\) 顺序杀掉 \(n\) 条巨龙，每条巨龙拥有一个初始的生命值 \(b_i\)。同时每条巨龙拥有恢复能
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摘要：问题描述 给定 \(n\) 个正整数 \(a_i\) 和 \(n\) 个非负整数 \(b_i\)，求解关于 \(x\) 的线性同余方程组： \[ \begin{cases} x\equiv b_1\pmod {a_1}\\ x\equiv b_2\pmod {a_2}\\ \cdots\\ x\eq
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摘要：P2480 [SDOI2010]古代猪文 Description 给定正整数 \(n,g\)，求 \(g^{\sum_{k\mid n}C_{n}^{k}}\bmod 999911659\)。 对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le n,g \le 10^9\)。 Solution 前置芝士
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摘要：定理内容 若 \(\gcd(a,m)=1\)，则 \(a^{\varphi(m)}\equiv 1\pmod p\)。 定理证明 构造一个模 \(m\) 意义下的简化剩余系：\(\{r_1,r_2,\dots,r_{\varphi(m)}\}\)。 因为 \(\gcd(a,m)=1\)，所以 \(\
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摘要：给定 \(n\) 个正整数 \(a_i\) 和 \(n\) 个非负整数 \(b_i\)，求解关于 \(x\) 的线性同余方程组： \[ \begin{cases} x\equiv b_1\pmod {a_1}\\ x\equiv b_2\pmod {a_2}\\ \cdots\\ x\equiv b
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摘要：给定 \(n,m,p\)，其中 \(n,m\) 较大，\(p\) 为质数且不是很大，求 \[ \dbinom{n}{m}\bmod p \] \(\rm Lucas\) 定理 \[ \dbinom{n}{m}\equiv\dbinom{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rf
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摘要：二项式定理 \[ (a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}a^k b^{n-k} \] 证明： \((a+b)^n=\begin{matrix}\underbrace{(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}\\n个(a+b)\end{matrix}\
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摘要：给定 \(n\) 元一次方程组 \[ \begin{cases} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\cdots+a_{1,n}x_n=b_1\\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\cdots+a_{2,n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{n,1}x_1+a_{n,
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摘要：前置芝士：\(\rm BSGS\) 当 \(a,b,p\) 均为整数时，请求出方程 \[ a^x\equiv b\pmod p \] 的最小非负整数解. 对于普通的 \(\rm BSGS\)，必须在 \(a,p\) 互质时才能求. 当 \(a,p\) 不互质时，需要用到扩展 \(\rm BSGS\)
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