Number

Symbol

• what is a symbol?

  Wiki上的解释is too long ;don't read.不如用symbol 造句

(symbol is that you can see with your eyes) X

it is a writing system not a symbol A represents b ，So we call A is a symbol. √

it is a symbol

Number

What is a number?

number是value和numeral的结合。在日常生活中，人们口中说的number ，比如：

• 比较两个number的大小；

• 1+1 =2 之类的 加减乘除运算；

• 电话号码 139XXXX ；

在上述几种情况中，都只是"强调"了number 的 value，但一般人不会去区别number和value，甚至认为number就是value。在中文环境下，number是“数字”，value 是"值"，numeral没有对应的翻译。所以日常生活中“值”的概念被“数字”取代，就只剩下了“数字”这个词。

为什么在日常生活中会忽视numeral这个概念呢？

因为现在通用的numeral是Hindu–Arabic numeral system,交流时就没必要指明numeral是哪一种。

(这种思想适合人脑的思维逻辑，很方便，也很常见。久了之后，就带来了一个问题，就是好多人已经不知道numeral这个概念了，但是日常交流时却没出现什么差错。可是这种思想却在理解一些计算机相关的概念时成了阻碍。)

既然已经默认了numeral,为什么还要强调numberal是什么原因呢？

在研究计算机的过程中，numeral是个很常见，但又很少被察觉的概念。导致了一系列的问题，比如：

• 二进制，十进制 等概念，在计算机类的书籍中频繁出现，初学者，甚至从事多年计算机工作的人也无法

  清晰的描述“进制”是什么；

• 现代计算机和中国的算盘有关系；

Numbers should be distinguished from numerals, the symbols used to represent numbers.

进一步读物：

【1】numbers

【2】what is a number?

Value

The number that the numeral represents is called its value.

value这个概念是我们人脑的抽象，人脑认为这是自然的。

Numerals

What is a numeral?

A notational symbol that represents a number is called a numeral. -- wiki

wikid的这个定义没错，但是没有用。其实numerals和number在结构上有相似之处，number 是value 和numerals的结合。那么numerals 是digits 和numeral system 的结合。

digits 是什么?

digits 是一个“最小化的set”，set表示集合中的元素不重复，最小化表示

{I ,V} 是最小化，{I ,V, IV}是set但不是最小化的因为， IV是被 {I,V}中的元素组合起来的。至于怎么组合的，需要理解Numerals systems。

So many digits

在日常生活中，vlaue 这个概念是唯一的，很自然的在人脑中发挥作用，虽然大部分人认为这是number。

可numerals却不是唯一的，继续看下去，你就明白numeral是什么了，这东西太常见了。

• Roman digits

I Ⅱ Ⅲ IIII Ⅴ Ⅴ Ⅹ L C D M

The I is a one. This could be derived from a scratch mark or a single raised
finger. The V, which is probably a symbol for a hand, stands for five. Two
V’s make an X, which stands for ten. The L is a fifty. The letter C comes from
the word centum, which is Latin for a hundred. D is five hundred. Finally,
M comes from the Latin word mille, or a thousand.

• Chinese digits

中文有两种digits。

壹 贰 叁 肆 伍 陆 柒 捌 玖 拾 佰 仟

一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 百 千 万 亿

• English digits

英文中只有一种

one two three four five six seven eight nine ten eleven

• Arabic digits

这就是我们现在用处最广的“阿拉伯数字”。

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

到目前为止，介绍了四种digits，都是现在还在使用的。让我费解的就是，“数字”在中文中一直指的是number的value,但是“阿拉伯数字” 指却是number 的digits，但是仍然摆脱不开“数字”。所以按照中文的造词逻辑“数字”和“阿拉伯数字”是不是让人摸不着头脑。如果你知道vlaue 的概念，也知道了digits 的概念，是不是脑子比只有“数字”更清楚了，至于number这个概念也就不用纠结了，因为你已经有了value 和 digits。接下来就接续看，这些个digits是如何在各自的numerals system中代表value的。

Numeral systems

Numerals system是什么？

A numerals system 就是如何使用给定的digits组成numrals来表示number的value。在计算机的教材中，包括英文版的，会混淆number systems 和 numeral systems 这两个概念，一般不会出现numeral systems这个词，把接下来要讲的内容定义为number systems。如果你能接触到原作者，请帮我问一句“自然数，整数，负数，小数”这几种概念的综合又叫什么呢？

​ Numeral systems are sometimes called number systems, Numeral systems are sometimes called number systems, but that name is ambiguous, as it could refer to different systems of numbers, such as the system of real numbers, the system of complex numbers, the system of p-adic numbers, etc. Such systems are, however, not the topic of this article.

So many numeral systems

在上一节digits中讲到了四种digits，这里讲四种digits如何被组织成numeral的。其中不同的组织方法就是不同的numerals system 。现代数学中和日常生活中使用是Arabic numeral system。Chinese numeral system 和 English numeral system 被用来当成name(取其中的读音和numrals，但不用来做加减乘除等算术运算)，Roman numeral system被当成序号来使用。需要去查资料看看采用Arabic numeral system前，某种文字采用的方法.the Arabic numeral system remains the most common system for representing numbers in the world today.下面列出四种numral system:

Chinese numeral system	English numeral system	Roman numeral system	Arabic numeral system
-	-	-	0
一	one	I	1
二	two	II	2
三	three	III	3
四	four	IIII	4
五	five	V	5
六	six	VI	6
七	seven	VII	7
八	eight	VIII	8
九	nine	VIIII	9
十	ten	X	10
十一	evelen	?	11
二十	twenty	?	20
一百	one hundred	?	100
一千	one thousand	?	1000
一万	ten thousand	?	10,000
十万	one million	?	1000,000

The Arabic numeral system was different from previous numeral systems in three ways:

• The Hindu-Arabic number system is said to be positional, which means that a particular digit represents a different quantity depending on where it is found in the number. Where digits appear in a number is just as significant (actually, more significant) than what the digits actually are. Both 100 and 1,000,000 have only a
single 1 in them, yet we all know that a million is much larger than a hundred.

• Virtually all early number systems have something that the Hindu-Arabic system does not have, and that’s a special symbol for the number ten. In our number system, there’s no special symbol for ten.

• On the other hand, virtually all of the early number systems are missing something that the Hindu-Arabic system has, and which turns out to be much more important than a symbol for ten. And that’s the zero.

​ 被Arabic numerals统一前，每种语言应该都会表达数字的概念，通过语言对应的文字来表示数字(通过文字可以知道读音)，English 中称5 is a number .Five is 5's 的name


Positional numeral system

在上述四种numeral system 中，要着重介绍的就是Arabic numeral system。这个system是positional的，跟前面的3中system 有着本质的区别。

• Intrinsic value && Local value

  In the positional priciple,each numeral ,when part of numeral,has two values;

  • an Intrinsic value,which is simply that signified by the isolated symbol it itself;
  • and a Local value,which is that possessed by virtue of its position , or location.

• Special digit 0

  • 0的出现，让Position的概念变得唯一了。因为115 和 1150是不同的，0只是代表的local value

  • 0在Positional numeral system中保持风格统一的效果，不然表示十，一百，一千，一万要用到不同的字十，百，千，万。有了0 我们就只用0和1就区别出10,100,1000,10000。这样一来就可以表示足够大的Value,比如 10000000000000000000000000000000000000000，在你的语言中读作多少？估计你读不出来吧。。。。

• **Decimal numeral system **

  （为了方便，上节提到的四种digits，从这里开始digit 只用来指代 Arabic digits ，因为其他三种digit已经失去了数学运算的能力。）

  概括的说就是**Decimal numeral system ** 就是positional numeral system 操作下面的这种digit 去组合成numerals

  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

  also called base-ten positional numeral system，base-ten 是指numeral system 操作digit 个数，也就是positional system的Radix，而digit就是positional system中的Local value。

  In mathematical numeral systems the base or radix is usually the number of unique digits, including zero, that a positional numeral system uses to represent numbers. For example, for the decimal system the radix is 10, because it uses the 10 digits from 0 through 9. When a number "hits" 9, the next number will not be another different symbol, but a "1" followed by a "0". In binary, the radix is 2, since after it hits "1", instead of "2" or another written symbol, it jumps straight to "10", followed by "11" and "100".

• Binary numeral system

  ( also called base-2 numeral system )

  概括的说就是**binary numeral system ** 就是positional numeral system 操作下面的这种digit 去组合成numerals

  **0 1 **

  also called base-2 positional numeral system，base-ten 是指numeral system 操作digit 个数，也就是positional system的Radix，而digit就是positional system中的Local value。

  这就是中文“二进制”，根据一般的解释，“二进制”就是逢二进一，进位是加法运算中的概念，和numeral system 没关系。理解了Decimal numeral system，其实“二进制”很自然就推出来了，只要你脑子里不再想着逢二进一

总结

Positional numeral system 只解决了一个问题，就是很漂亮的利用digits(注意digit已经只代表Arabic digits)组合numeral,区别出了“不同”，例如：115 和 1105 不同,115和1150. 至于numeral代表是number哪一个value,还需要具体的context.至于context是什么？很简单 Decimal numeral system就是大家默认的context。但是Binary numeral system却不是一种context, 1001 可以代表的value太多了相关的conetxt有one's complete , two's complete, 在硬盘中是占了多少位(因为 01001 和 1001 根据大家的习惯会吧01001的0省去，但是在计算机中这是是省略会丢失信息)。

number这一概念介绍到这里基本上就可以进入下一篇了，这样大家就知道number是value 和 numbral 的组合，而numeral是 digits 和 numeral system的组合。由于各种原因每种语言当中原生的numeral system 被一种positional numeral system 取代了，这种system就是大家正在使用的Arabic numeral system，当你希望知道positional numeral system是如何把组成的numeral 指代valuedd的时候，就明白了Arabic numeral system 其实就是一种Decimal numeral system。明白了什么是Decimal numeral system，你就会发现binary numeral system 翻译成“二进制”真是让人吐血。而且日常有了Decimal numeral system为什么还要有binary numeral system ，因为binary numeral system 给出不同的context就能很巧妙的指代各种“value”(正数，负数，汉字，英文字母)，而且这是计算机和现实世界的桥梁。

综上所述，一般情况下，当我们谈到number的时候，意思是指number的value，因为我们默认了几个概念

• positional system 使用了

• digit (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9) 并且使用了
• 十个

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