算法第五章作业

1. 最小重量机器设计问题
   1.1 解空间
   每个零件对应一个供应商编号（1到m），所以解是一个长度为n的向量 其中x的范围为{1,2,……,m}表示第i个零件选择的供应商。 解空间大小为m的n次方。
   1.2 解空间树
   解空间树是一个m叉树，深度为n（根深度为0或1取决于定义，这里通常根深度为0，对应第0个零件，但常从第1个零件开始展开）。根结点：尚未选择任何零件的状态。第k层结点：已经为前k 个零件选择了供应商，正在决定第k+1个零件的供应商。叶子结点（第n层）：所有零件选择完毕，得到一个完整解（可能满足或不满足价格约束）。每个非叶子结点有m个子结点，分别对应选择第k个零件的m个供应商之一。
   1.3 遍历解空间树时，每个结点的状态值
   每个结点需要维护的状态信息包括：当前总价格current_cost：已选零件的价格之和。用于约束剪枝：如果当前总价格已经超过C，则放弃该分支。当前总重量current_weight：已选零件的重量之和。用于比较：当到达叶子结点且满足价格约束时，更新最小重量记录。当前解向量x[1..k]：已做的选择（前k个零件的供应商编号）。当前最小重量best_weight（全局或引用传递）：记录到目前为止找到的可行解的最小重量，用于限界剪枝。剩余零件的最小可能重量下界（可用于进一步优化）： 如果当前重量加上剩余零件在**每个供应商中最小重量的和已经大于等于best_weight，则可以剪枝。实际回溯时，状态值通常包括(k, current_cost, current_weight)，以及选择的路径。
2. 我对回溯算法的理解
   回溯法是一种系统性地搜索解空间的算法，它通过深度优先遍历解空间树，并在遍历过程中利用约束条件剪去不可行分支，利用限界条件剪去非最优分支（对于优化问题）。
   核心思想：“尝试-回溯”，即做出一系列选择，如果当前部分选择已经导致不可能得到可行解或更优解，就撤销最近的选择（回溯），尝试其他选择。
   关键特点：系统性：能遍历所有可行解（除非被剪枝）。深度优先：节省空间，只存储当前路径。剪枝：分为约束剪枝（不可行）和限界剪枝（不可能更优）。适用范围：组合问题，如排列、子集、n皇后、图的着色、背包问题等。时间复杂度：通常是指数级，但剪枝效果好的话，实际运行可能远小于解空间大小。
   回溯法与分支限界法的区别：回溯法通常DFS，用约束和限界剪枝。分支限界法通常 BFS 或优先队列，用限界函数选择扩展结点，适合优化问题，常能更快找到较优解并剪枝。