拓展欧几里得 学习笔记

拓展欧几里得算法

还是数论

欧几里得算法

就是求最大公约数的辗转相除法。

数学公式

\[\gcd(a, b)=\left\{\begin{array}{ll} \gcd(b, a \bmod b) & , b \neq 0 \\ a& , b=0 \end{array}\right. \]

模板

int gcd(int a,int b)
{
	if(b==0) return a;
	return gcd(b,a%b);
}

然后辗转相除的复习就结束了

拓展欧几里得(exgcd)

适用问题

给定正整数 \(a,b\)，求出 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组正整数解。

算法思路

由欧几里得算法得出 \(ax+by=\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\)，代回原式，即为：

\[bx^{\prime}+a\bmod b\times y^{\prime}=\gcd(b,a\bmod b) \]

假设我们已知上式的一组解 \(x^{\prime},y^{\prime}\)，可以得到：

\[\begin{aligned} ax+by=\gcd(a, b) &=b x^{\prime}+a \bmod b\times y^{\prime} \\ &=b x^{\prime}+(a-\lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b) y^{\prime}\\ &=a y^{\prime}+b(x^{\prime}-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times y^{\prime}) \end{aligned} \]

所以

\[ax+by=ay^{\prime}+b(x^{\prime}-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor \times y^{\prime})\\ x=y^{\prime}\\ y=x^{\prime}-\frac{a}{b}\times y^{\prime} \]

我们发现，当 \(b=0\) 时，\(a\times 1+b\times 0=a\)

\[x=1\\ y=0 \]

模板

直接递归求解即可

法一

int x,y;
int exgcd(int a,int b)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int g=exgcd(b,a%b);
	int t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
	return g;
}

法二

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	int g=exgcd(b,a%b,y,x);
	y=y-a/b*x;
	return g;
}

这时，我们已经得到了一组解，下一步是求解 \(ax+by=c\)。

---

求解 \(ax+by=c\)

接下来我们需要分类讨论

设 \(g=\gcd(a,b)\)

当 \(c\bmod b\neq0\) 时，无解

否则，令 \(k=\frac{c}{g}\)

则

\[ax^{\prime}k+by^{\prime}k=g\times k=c \]

得

\[x=x^{\prime}k,y=y^{\prime}k \]

设 \(x\) 的周期 \(T=\frac{b}{g}\)，则最小正整数解为 \((x\bmod T+T)\bmod T\)。

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乘法逆元

定义

已知 \(a,p\)，求 \(ax\equiv 1\pmod{p}\) 中的 \(x\)，称 \(x\) 为 \(a\) 关于 \(p\) 的逆元。

求解

直接求解 \(ax+py=1\) 即可。

最终答案为 \((x\bmod p+p)\bmod p\)。

模板

求解里已经说得很清楚了，没必要再放板子了。

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费马小定理

当 \(p\) 为素数时，\(a\) 关于 \(p\) 的逆元是 \(a^{p-2}\)。

证明

略

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一些板子题

P1516 青蛙的约会

这是一道比较裸的拓欧题。

100pts

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define int ll
using namespace std;
inline ll lread()
{
	ll s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0' && ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
	return s*w;
}
int x,y,m,n,l;
int p,q;
int exgcd(int a,int b)
{
	if(!b)
	{
		p=1;
		q=0;
		return a;
	}
	int g=exgcd(b,a%b);
	int t=p;
	p=q;
	q=t-a/b*q;
	return g;
}
signed main()
{
	x=read();y=read();m=read();n=read();l=read();
	int a=n-m,b=x-y;
	if(a<0)
	{
		a=-a;
		b=-b;
	}
	int ans=exgcd(a,l);
	if(b%ans!=0)
	{
		cout<<"Impossible"<<endl;
	}
	else
	{
		cout<<((p*(b/ans))%(l/ans)+l/ans)%(l/ans)<<endl;
	}
	return 0;
}

P3811 【模板】乘法逆元