正弦函数的绝对值函数

遇到一个有趣的函数，即正弦函数的绝对值构成的函数 \(y = | \sin (x) |\)，其中\(x \in (-\infty, + \infty)\). 下面给出当\(x \in [-2 \pi, 2 \pi]\)时的函数图像：

一、函数\(y = | \sin (x) |\)的特点

1. 这是一个周期函数;

2. 关于\(x= \pi \cdot N\)对称，\(N=0, \pm 1, \pm 2, \ldots\), \(\pi\)表示圆周率;

3. 在每个周期\(x \in [\pi \cdot (N-1), \pi \cdot N]\)内，前一半是增函数，而后一半是减函数，即在\(x \in [\pi \cdot (N-1), \pi \cdot N - \frac{\pi}{2})\)上递增，而在\(x \in [\pi \cdot N - \frac{\pi}{2}, \pi \cdot N)\)上递减;

4. 离\(\pi \cdot N\)越近函数值越小，离\(\pi \cdot N \pm \frac{\pi}{2}\)越近函数值越大.

根据以上性质显然可以得到一个等式，\(\forall \alpha\), 有\(|\sin(\pi \cdot N + \alpha)| = |\sin(\pi \cdot N - \alpha)|\).

二、比较任意两个角度\(\alpha\)和\(\beta\)的\(| \sin (x) |\)函数值

1. 首先, 确定\(\alpha\)和\(\beta\)各自所在区间的倍数\(N_\alpha\)和\(N_\beta\)的大小，例如：\(\alpha \in [\pi \cdot N_\alpha, \pi \cdot (N_\alpha + 1)]\), 以及\(\beta \in [\pi \cdot N_\beta, \pi \cdot (N_\beta+ 1)]\);

2. 然后，就可以得到对应于第一个周期的值，即：\((\alpha - \pi \cdot N_\alpha) \in [0, \pi]\), 以及\((\beta - \pi \cdot N_\beta) \in [0, \pi]\), 令\(\tilde{\alpha} = \alpha - \pi \cdot N_\alpha\), \(\tilde{\beta} = \beta - \pi \cdot N_\beta\);

3. 最后，比较\(|\tilde{\alpha} - \frac{\pi}{2}|\)和\(|\tilde{\beta} - \frac{\pi}{2}|\)的值，越小所对应的\(y = | \sin (x) |\)函数值越大.