高中选修4-2矩阵与变换习题P22复习题1

• 第3题

  • 给定平行四边形ABCD，并连接对角线相交于O点，
        1.用向量相加表示底边向量AB. 
        2.用向量相减表示底边向量AB
        三角形法则可以表示加法，取反一个向量可以表示减法。
    

  • 如何写一个程序来输出所有"向量AB=向量XX+向量YY"
    给定二维平面上n个点，点与点之间相连m条边，得到2m个向量，
    给定向量AB，
    要求挑选一个向量i和一个向量j，且向量i和j可以合成向量AB
    输出所有满足的向量对
    
    思路一：
        1.只需要找出第一组成立的向量(例如向量AB = 向量AO + 向量OB，)
            然后所有与向量AO相等的向量x，与OB相等的向量y
        2.判断向量a是否等于向量b：平移起点到原点，然后判断终点是否相等即可
        3.一共有N个向量，判断是否两两相等
            3.1 用握手定理，时间复杂度O(N^2)
            3.2 用哈希表也可以
            3.3 如何找出第一组成立的2个向量？
    
    思路二：
        1. 所有向量先平移到原点，并丢进哈希表set中
        2. 遍历每个向量i
               如果向量AB可以表示为：向量AB = 向量i + 向量j，其中j不等于i
                                     v        v       v
                                    已知     已知     未知
                向量j可以通过一般分解求出来，如果向量j不在哈希表set里，就跳过
        时间复杂度O(n)
                        

• 第9题

  • 三角形ABC中，底边BC的中点是D，向量AB记为α，向量AC记为β，使用α和β来表示向量AD
                    

  • $ \begin{aligned} 1. 平行四边形法则：向量\vec{AD}刚好是对角线的一半，且方向相同，立即得到 \vec{AD}=\frac{1}{2}\left(\vec{AB}+\vec{AC}\right) \\ \end{aligned} $
• B组
  • 第1题
    • $ \begin{aligned} & 已知A(7,8), B(3,5), C(4,3)且M、N、D分别是AB,AC,BC的中点，NM于AD交于点F，求向量\vec{DF}。\\ \end{aligned} $
      $ \begin{aligned} \textcolor{red}{\vec{DF}} &= -\frac{1}{2}(\vec{AD}) & 中线，方向相反 \\ &= -\frac{1}{2}( \frac{1}{2} (\vec{AB}+\vec{AC}) ) & \\ &= -\frac{1}{4}(\vec{AB}+\vec{AC}) \\ \end{aligned} $
  • 第2题

    • 若点A(-1,-1)、B(1,3)、C(x,5)共线，求点C的坐标。
      如图，可以构造出相似三角形，通过计算向量AC和向量AB的比例得出向量C的位置
                              
  • 第3题(重点编程题)
    • $ \begin{aligned} & 求A组第7题中两直线的交点坐标. \\ & \ \ 1. 过点M(3,-1)，平行于向量α= \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}; \\ & \ \ 2. 经过A(2,0)，B(0,-1)两点 \\ \end{aligned} $
    • 这里有简洁的推导过程https://www.cnblogs.com/zhb2000/p/vector-cross-product-solve-intersection.html
  • 第5题
    • $ \begin{aligned} & 假设现有的兔子数量和狐狸数量分别用R,F表示，记作 \begin{pmatrix} R \\ F \end{pmatrix} \\ & 下一年的兔子和狐狸数量分别用R',F'表示 \begin{pmatrix} R' \\ F' \end{pmatrix} \\ & 若兔子和狐狸的数量增长模型如下 : \\ & \ \ \ \ \ \begin{cases} \ R' = 1.1R - 0.15F \\ \ F' = 0.1R + 0.85F \\ \end{cases} \\ & 记矩阵M= \begin{pmatrix} 1.1 & -0.15 \\ 0.1 & 0.85 \end{pmatrix} \\ & (2) 如果现有100只兔子，30只狐狸,用矩阵M表示出下一年的兔子和狐狸的数量，并计算结果 \\ & \ \ \ \ \ Mx = b = \begin{pmatrix} 1.1 & -0.15 \\ 0.1 & 0.85 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 100 \\ 30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.1*100 - 0.15*30 \\ 0.1*100 + 0.85*30 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 105.5 \\ 35.5 \end{pmatrix} \\ & (3) 如果现有100只兔子，30只狐狸, 试着推测\textcolor{red}{上一年}的兔子和狐狸数量。 \\ & \ \ \ \ \ Ax=b，已知A和b，求x \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ x = A^{-1}b , 行列式不为0时，A的逆矩阵A^{-1}才存在 \\ & \ \ \ \ \ // \textcolor{red}{todo 学习逆矩阵的计算方法} \end{aligned} $