向量相交点推导笔记

• 学习笔记-向量相交推导

  • 已知A、B、C、D这4个点的坐标(已知两个向量)，求出直线AB、直线CD的交点坐标Ⅰ
    

  • 查看图片
  • 题目来源：北师大版本高中选修4-2的P22的B组第三题
    • $ \begin{aligned} & 求A组第7题中两直线的交点坐标. \\ & \ \ 1. 过点M(3,-1)，平行于向量α= \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \end{pmatrix}; \\ & \ \ 2. 经过A(2,0)，B(0,-1)两点 \\ \end{aligned} $
  • 查找到这篇博客讲的好https://www.cnblogs.com/zhb2000/p/vector-cross-product-solve-intersection.html
    • 推导copy
      • $$\begin{array}{rcl}({\mathbf{p}}_2-\mathbf{I})\times {\mathbf{v}}_2& =& \mathbf{0}\\ ({\mathbf{p}}_2-({\mathbf{p}}_1+t{\mathbf{v}}_1))\times {\mathbf{v}}_2& =& \mathbf{0}\\ ({\mathbf{p}}_2-{\mathbf{p}}_1)\times {\mathbf{v}}_2-t{\mathbf{v}}_1\times {\mathbf{v}}_2& =& \mathbf{0}\\ ({\mathbf{p}}_2-{\mathbf{p}}_1)\times {\mathbf{v}}_2& =& t({\mathbf{v}}_1\times {\mathbf{v}}_2)\\ t& =& \frac{|({\mathbf{p}}_2-{\mathbf{p}}_1)\times {\mathbf{v}}_2|}{|{\mathbf{v}}_1\times {\mathbf{v}}_2|}\end{array}$$
    • $ \begin{aligned} & 首先想办法把\textcolor{#0000FF}{向量Ⅰ}表示出来，\\ & 博客中提到的“\textcolor{green}{将点和向量统一表示}”可以用\textcolor{red}{三角形法则}来理解 \\ & \ \ \ \ 1. 这里的\textcolor{red}{t}是未知数，向量AB可以通过伸缩\textcolor{red}{t}倍后变成\textcolor{red}{向量AⅠ} \\ & \ \ \ \ 2. 引入了一个未知数\textcolor{red}{t}，就需要一个方程(左边有未知数t，右边\textcolor{red}{只有}已知数)，才能求解出t的值 \\ & \ \ \ \ \ \ \ 博客里的证明是带入了\textcolor{green}{向量u \ 叉乘 \ 向量v = 0, 其中u、v共线} 这条性质，来得到的方程 \end{aligned} $

      ---

      $ \begin{aligned} & \\ \\ & 当得到了交点的表达式后，可以得到另一条直线上的\textcolor{#00CCCC}{向量CⅠ} \\ & 当点Ⅰ和点C都可以表达后，\textcolor{#00CCCC}{向量CⅠ}可以用\textcolor{green}{终点-起点}得到（或则用外面那个大的三角形OCⅠ来得到） \\ \end{aligned} $

    • ---

      $ \begin{aligned} & 利用性质\textcolor{green}{当向量u、v共线时，向量u叉乘向量v等于0}的性质引入方程，一个未知数t和一个方程，可以求出未知数t \\ \end{aligned} \\ \\ \begin{aligned} (\textcolor{#00CCCC}{向量CI}) \ \times \ (向量CD) &= 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ ① 利用性质\textcolor{green}{当向量u、v共线时，向量u叉乘向量v等于0} \times 是叉乘\\ [[\textcolor{#FF00FF}{向量OA} + \textcolor{red}{(t*向量AB)}] - \textcolor{#A680B8}{向量OC}] \ \times \ (向量CD) &= 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ ②展开向量CI \\ [(\textcolor{#FF00FF}{向量OA} - \textcolor{#A680B8}{向量OC}) + \textcolor{red}{(t*向量AB)} ] \ \times \ (向量CD) &= 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ ②向量加法交换律 \\ [(\textcolor{#FF00FF}{向量OA} - \textcolor{#A680B8}{向量OC}) \times 向量CD] + [\textcolor{red}{(t*向量AB)} \times \ 向量CD] &= 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ ③左边使用叉乘右分配律 ：(\vec{α}+\vec{β}) \times \vec{c} = (\vec{α} \times \vec{c}) + (\vec{β} \times \vec{c}) \\ [\textcolor{red}{(t*向量AB)} \times \ 向量CD] &= - \ [(\textcolor{#FF00FF}{向量OA} - \textcolor{#A680B8}{向量OC}) \times 向量CD] & \ \ \ \ \ \ \ \ \ 移项 \\ t*(向量AB \times \ 向量CD) &= - \ [(\textcolor{#FF00FF}{向量OA} - \textcolor{#A680B8}{向量OC}) \times 向量CD] & \ \ \ \ \ \ \ \ \ 左边交换：标量叉乘(向量先伸长t倍再叉乘=向量先叉乘求面积再乘t倍\\ t \ &= \ \frac{- \ [(\textcolor{#FF00FF}{向量OA} - \textcolor{#A680B8}{向量OC}) \times 向量CD] }{向量AB \times \ 向量CD} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ 这里前面有个负号，因为我取的是向量CI，上方博客里取的是向量IC \\ & & \ \ \ \ \ \ \ \ \ 右边：全是已知数 \\ \end{aligned} $
  • 用纯几何的方法推导
    • 上方博客的证明很抽象，难以理解
      结论是：t = 面积之比 所以从证明结果出发，用纯几何的方式理解了一下，如下图：