高中选修4-2矩阵与变换习题1-2

• 选修4-2 习题1-2 A组
  • 4.写出满足下列条件的直线向量方程
    • 写出满足下列条件的直线向量方程
      

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      (1) 过点$A(1,-2)$ ，且平行于向量$v=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$
            这题考察的是直线向量方程公式:过点$A(x_0,y_0)$，且平行于向量$\vec{α}$的直线方程 $ l = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} $ t属于任意实数
      

          参考课本第13页
      
          
      
      

      $$ \begin{aligned} 因为两点确定一条直线，直线L = \{ A(1,4), \textcolor{#FF0000}{X(x,y)} \} \\ 只需求出向量OX即可得到x和y的值\\ 从而确定直线L \\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} t*向量\textcolor{#FF00FF}{α} = 向量\textcolor{#FF0000}{\vec{AX}} &= t*α \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ① 因为方向相同，所以α伸长t倍后就是\textcolor{#FF0000}{\vec{AX}} \\ t*向量\textcolor{#FF00FF}{α} = 向量\textcolor{#FF0000}{\vec{AX}} &= 终点 - 起点 \\ t*向量\textcolor{#FF00FF}{α} &= \vec{OX} - \vec{OA} \\ t*向量\textcolor{#FF00FF}{α} + \vec{OA} &= \vec{OX} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ② 移项 \\ \vec{OX} &= t*向量\textcolor{#FF00FF}{α} + \vec{OA} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ③ 交换等号位置 \\ \textcolor{#FF0000}{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} } &= \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \end{aligned} $$
      
      

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      (2) 过原点$O(0,0)$，平行于向量$α=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$的直线方程
            解 : $ \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t*\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} $
      
      
      

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      (3) 经过点$A(1,-2)$,$B(1,3)$两点
            解 : $ \begin{aligned} 对比公式 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix} + t*\vec{α} \\ 发现\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix}可以是A(1,-2) \\ 向量α可以是向量AB的A点平移到原点，那么B点也会被平移到\textcolor{#FF3333}{B' = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix} } \\ 带入公式 就是 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} &= A + t* \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} + t* \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix} \end{aligned} $
      

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  • 思考参数t的几何意义
    • $ \begin{aligned} 5. & 观察图1-12中直线L上的动点X，对方程 \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \ \ \ \ \ \ 其中t属于R \\ & 当t=0，+\frac{1}{2},-\frac{1}{2},+1,-1,+2,-2....时， \\ & 分别计算动点X的坐标(x,y)，并在图中观察动点X的运动变化，思考方程中的\textcolor{red}{参数t的几何意义} \\ \\ &. 观察下图可以发现，参数t的数值会影响向量AX的\textcolor{red}{大小}和\textcolor{red}{方向} &. \end{aligned} $

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  • 向量一般分解：一个向量A分解为两个任意方向的向量a1、向量a2
    • 证明过程 $ \begin{aligned} 6. & 给定三个向量\vec{α_1}=\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}，\vec{α_2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}，\vec{α}=\begin{pmatrix} 7 \\ 8 \end{pmatrix}， \\ & 问是否存在实数s和t,使得\vec{α} = s*向量\vec{α_1} + t*向量\vec{α_2} \\ & 求出s和t，问(s,t)是\textcolor{red}{唯一}的吗？(是) \\ & 试说明s和t的几何意义 （可以伸长、缩短向量v1、v2来\textcolor{green}{合成}向量X） \\ & 对于任意向量 \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}，是否一定存在实数s和t，使得\begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix} = s*向量α_1 + t*向量α_2成立？ (行列式D\textcolor{red}{不为零}才成立,证明在课本P10) \\ & 如何求出s和t？ \end{aligned} $