中科院院士:初等数学和高等数学,总结起来就这几点<转载>

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“华罗庚是我国最博学的数学家,他总观全局,把初等数学讲得这么少(精炼),使我们学习数学更有信心。”

从小学到高中,我们学过12年的数学,叫做初等数学;大学后的微积分,叫做高等数学。

初等数学大致是什么内容呢?著名数学家华罗庚在1979年留下一个视频,他对此做过解答。

他说,数学就是数和形。最先出现的是数字,就是12345;后来有了减法,就出现了负数;再后来有了除法,就出现了分数。这许多“数”,有一个总名字:有理数。

有理数有一个特殊性质:有理数加有理数还是有理数,有理数减有理数还是有理数,有理数乘有理数还是有理数。也就是说,有理数遇到另一个有理数,不论加减乘,结果都是有理数。那么有理数除有理数呢?只有一种结果不是有理数,那就是除以0。总之,有理数本身,对加减乘除是自封的。

仅有理数够不够呢?不够!例如根号2就不可能是有理数,这说明有理数是不完整的。所以整个“数”的系统,给它一个定义,叫实数系统。实数系统也有这个性质,即对加减乘除自封。

可是,实数系统就完整了吗?还不完整。例如在求解方程的过程中,可能没有实根,但是有虚根,所以实根之外又出现一种数,叫做复数。复数对加减乘除也是自封的。

自此之后,凡是一批数或一批抽象的东西,如果里面可以定义加减乘除并且是自封的,高等数学就叫它域。

最后讲面积,包括长方形、三角形、多角形、圆的面积。

上述是华罗庚关于初等数学的总结。华罗庚是我国最博学的数学家,他总观全局,把初等数学讲得这么少(精炼),使我们学习数学更有信心。

但是华罗庚没有具体讲高等数学(微积分)。

微积分讲什么呢?是否还是应该讲面积?如果我们还是把一般图形(如曲边梯形)分成许多长方形,不仅计算量大,而且分得再多也有疏漏,这是不得已的方案。

“牛顿”们不是这么做的。他们开始不是求面积,他们求瞬时速度,只看一个时刻。但在某一时刻,时间与路程都等于0:

,怎么算?我们给出一个算法:

即平均速度与瞬时速度之差与时间成正比地减少。于是,在短时间内,速度就变化不大,平均速度就代替了瞬时速度。

尤其是,当时间趋于0,则平均速度趋于瞬时速度,用看不用想。

注意,我们关心的正是时间趋于0时出现的极限,如今借助公式(1)求极限,避开了无穷小!

于是,公式(1)可改写为

|路程-瞬时速度×时间|≤(时间段) 的一个倍数

其中,瞬时速度×时间,可看作瞬时速度中的面积(相当于化曲为长方)。那么,路程为面积的近似值(时间的平方),那么很容易证明两者相同:路程=速度图的面积。

微积分把它写成:

二维面积变成了一维高,俗称:油饼面积变油条高。

通俗地讲,就像计算一块弯弯曲曲的油饼面积,既无需将油饼切成“无穷个”小油条,也无需将这“无穷个”小油条的面积再相加,一下子就能得到油饼的面积等于另一根油条的高,简称为:油饼面积=油条高。

原先,亿万次计算也算不准,如今,一次计算便准确到达。

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posted @ 2021-02-19 08:55  majianguo  阅读(113)  评论(0编辑  收藏  举报