dilworth

有一个表示“序关系”的有向图 \((V,E)\)，对 \(E\) 求个传递闭包就构成了一个偏序 \(E'\)。

最长反链定义为：\(S\subset V\) 满足 \(S\) 任意两点在 \(E'\) 上不相邻时，\(|S|\) 的最大值。

众所周知的是 dilworth 定理：最长反链=最小"链覆盖"。不过这个最小链覆盖如何定义呢？

有两种定义方式，我将其分别称之为“最小无交路径覆盖”与“最小可交路径覆盖”。

\(E\) 上路径为一个序列 \(v_1\rightarrow v_2\rightarrow \dots \rightarrow v_k\)，当若干条路径 \(\{v_i\}\) 的并集为全集 \(V\) 时，称它们构成了一个路径覆盖（或者可交路径覆盖）。特别的，如果为无交并，则称构成一组 无交路径覆盖。

那这俩东西怎么求呢？

先说最小无交路径覆盖：DAG 的性质非常好，路径一定不会连成环。那只要将 \(x\) 练到 \(y\) 合法，路径数就少了 \(1\)。所以我希望给尽可能多的点安排入点（或者出点）。这相当于把每个点 \(x\) 拆成 \(x_{in}\)（左部点）和 \(x_{out}\)（右部点）。如果原图中有 \(x\rightarrow y\) 的边，则相当于可以把 \(x_{in}\) 和 \(y_{out}\) 连边（流量为 \(1\)），跑最大匹配即可。设最大匹配为 \(|M|\)，则最小无交路径覆盖为 \(|V|-|M|\)。

再说最小可交路径覆盖：先给结论，\(E\) 的 可交路径覆盖 与 \(E'\) 的 无交路径覆盖 可以互相转化。手玩一下发现很好理解。所以要么跑完传递闭包用网络流算上面东西，要么考虑优化建图：\(x_{out}\) 向 \(x_{in}\) 连流量为无穷的边，表示可以随意跳来跳去。本质就是考虑哪些左部点应该到达哪些右部点。

接下来是构造方案：通过流构造路径覆盖很容易，所以只说说反链。

我们知道二分图最大独立集的做法：残量网络上从源点开始 bfs，能走到的左部点和走不到的右部点一起构成了最大独立集。

然后我们声称，\(S\) 包含 \(x\) 当且仅当 \(x_{in}\) 和 \(x_{out}\) 同时在独立集中，则 \(S\) 构成了一条最长反链。

什么？你问我为什么？