分圆多项式

\[\Phi_n(x)=\prod_{m=1}^{n}(x-\omega_n^{m})^{[m\perp n]} \]

这个有啥用来着？

感觉背景可能是计算形如 \(x^n-1\) 的多项式，它们的公约式是 \(x^{\gcd(n,m)}-1\)。那么我们想计算：

\[\operatorname{lcm}(x^1-1,x^2-1,\dots,x^n-1) \]

那么显然答案就是 \(\prod\limits_{i=1}^{n}\Phi_i(x)\)！

如何具体求某一个呢？也很容易，考虑莫反：

\[\Phi_n(x)=\prod_{m=1}^{n}(x-\omega_n^{m})^{\sum\limits_{d|m,n}\mu(d)} \]

\[=\prod_{d|n}(\prod_{d|m,1\leq m\leq n}(x-\omega_n^{m}))^{\mu(d)} \]

\[=\prod_{d|n}(x^{\frac{n}{d}}-1)^{\mu(d)} \]

怎么还是好难算哎。