P4942 小凯的数字

P4942 小凯的数字

题目和数据范围提示有 \(O(1)\)作法。

直接拆数字，会TLE

$res \mod 9 = l(l + 1)(l + 2)...(r - 1)r \mod 9$

找规律不难发现 \(\texttt{所有数位的数字之和} \mod 9\) 即为答案。
但直接求所有数位之和明显不行，（数位dp好像可以，也许吧没试过）

观察到不需要求出所有数位的数字之和，求出所有数其自身 \(\mod 9\)的值之和就可以了

\(res = A_{l} + A_{l + 1} + \dots + A_{r - 1} + A_{r} \mod 9\)

为什么可以这样化？
\(A\) 的数位有 \(N\) 位， 有数位\(A_1A_2\dots A_{N - 1}A_{N}\)

$A_1 + A_2 \dots A_{N - 2}A_{N - 1}A_{N} \mod 9 = A_1A_2\dots A_{N - 1}A_{N} \mod 9$

\(\vdots\)

\(A_1A_2 \dots A_{N - 2} + A_{N - 1}A_{N} \mod 9 = A_1A_2\dots A_{N - 1}A_{N} \mod 9\)
\(A_1A_2 \dots A_{N - 1} + A_{N} \mod 9 = A_1A_2\dots A_{N - 1}A_{N} \mod 9\)

成立

所以 \(res = \sum_{i = l}^{r} i \mod 9\)

师妹告诉我等差数列求和公式还可以简化式子，是我写复杂了

void solve()
{   
	ll l, r;	cin>>l>>r;
	__int128 rs = (__int128) r * (r + 1) / 2ll;
	l--;
	__int128 ls = (__int128) l * (l + 1) / 2ll;
	__int128 res = (rs - ls) % 9;
	cout<<(ll)res<<'\n';
    return;
}