从fibonacci和汉诺塔看分治法

一、分治概述

　　分治法是的核心：将一个复杂的问题拆分成多个易解决的小问题。

　　分治法的三个基本步骤：

　　1. 分解：原问题分解为子问题

　　2. 解决：对每个子问题进行求解

　　3. 合并：合并子问题的解得出原问题的解

 

二、fibonacci问题

　　先看一个简单的例子：

　　description: f(1) = f(2) = 1, f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n>2). 

　　input: 一个整数n.

　　output: f(n)

　　

　　让我们用分治的思想来解这个问题：

　　1. 分解：f(n)分解为求f(n-1)和f(n-2)。

　　2. 解决：递归解出f(n-1)和f(n-2)。

　　3. 合并：f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

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int f(int n)
{
    if(1==n || 2==n)
        return 1;
    return f(n-1)+f(n-2);
}

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三、汉诺塔问题

　　现在看一个更复杂一点的例子，同样是个很熟悉的题目

　　description: 有A, B, C三个圆柱，其中A上从上至下放置了从小到大n个圆盘，一次只能移动一个圆盘，且大的圆盘不能放在小圆盘之上，要求打印出从A将圆盘移到C的方案。

　　这个问题明显要比fibonacci难一些，不是很容易想出分解的方案。

　　首先分析最简单的情况：

　　n=1时，我们的操作是：1,A->C，问题解决。

　　n=2时，1,A->B; 2,A->C; 3,B->C，问题解决。

　　我们发现，n>2时盘子的移动跟n=2其实没什么两样：先将前n-1个盘子移动到B，再将第n个盘子移动到C，最后将前n-1个盘子移动到C。这就是一个递归过程！

 

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void move(int n, char x, char y)
{
    cout<<n<<", "<<x<<"->"<<y<<endl;
}
void hanoi(int n, char a, char b, char c)
{
    if(1==n)
        move(n, a, c);
    else
    {
        hanoi(n-1, a, c, b);
        move(n, a, c);
        hanoi(n-1, b, a, c);
    }
}

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　　hanoi(int n, char a, char b, char c)是主要函数。其中n代表圆盘个数，a、b、c分别是起始圆柱，辅助圆柱，目的圆柱。

四、分治的缺陷

　　回到fibonacci，我们发现求解f(n-1)的时候已经求解出了f(n-2)，接着我们又求了一遍，其原因在于分治把子问题均看作独立互不相关的个体！这导致了分治的时间复杂度往往偏高。

五、总结

　　1. 分治的关键是分解问题。

　　2. 分治解决问题的步骤通常是用的递归。

　　3. 分治的子问题是互不相关的。